furia_krucha ([info]furia_krucha) wrote,
@ 2006-05-22 19:10:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend  Next Entry
„Иногда ночью, мучаясь от бессоницы, я ...“ — К. Ф. Гаусс.
В „Алгебре“ Ленга дано универсальное свойство многочленов (на самом деле, Ленг, определяет многочлены через это свойство): многочлены K[X] это объекты, для которых определена „замена коэффициентов“, заданная гомоморфизмом f:K->R, и при этом функция вычисления в точке ev_r:K[X]->R есть гомоморфизм. Наличие функции вычисления позволяет считать многочлены функциями.

Интересно, что Ленг не упоминает, что эта универсальная конструкция есть пример ко-произведения (рассмотрим, сначала, коммутативный случай):

K[X] = FR(X) + K,

где FR(X) есть свободное коммутативное кольцо с множеством образующих X, а плюс обозначает ко-произведение в категории коммутативных колец. То, что эта запись эквивалентна, проверяется тривиальным диаграммным поиском с использованием универсального свойства свободного кольца. Чтобы понять структуру кольца FR(X), вспомним элементарный факт: если функтор F0 сопряжен слева к функтору P0 (F0 |- P0), и F1 |- P1, то для их композиции имеем F0*F1 |- P1*P0. Функтор FR сопряжен слева забывающему функтору из категории (коммутативных) колец в категорию множеств. Этот последний есть композиция функтора, сопоставялющего кольцу его коммутативный мультипликативный моноид и функтора, сопоставляющего моноиду множество его элементов. Таким образом

FR(X) = GR(F(X)),

где F(X) — свободный абелев моноид с множеством образующих X, а GR(M) — моноидное кольцо моноида M (точнее, моноидное кольцо кольца целых чисел над M). Имеем:

K[X] = GR(F(X)) + K.

Подставим кольцо целых чисел Z:

Z[X] = GR(F(X)) + Z = GR(F(X)),

т.к. Z есть начальный элемент в категории коммутативных колец и, следовательно, нейтральный элемент для ко-произведения. Откуда получаем:

K[X] = Z[X] + K.

В некоммутативном случае всё точно также, только без „коммутативн-ый,-ое“ и „абелев“. Перед тем как заснуть, я ещё успел разглядеть явное представление элементов FR(X) и K0 + K1 в коммутативном и общем случае, но выписывать суммы в ASCII мне не хочется.

Вопрос 0: Кому нужен волосатый бильярдный шар?

Вопрос 1: Почему „ко-произведение“ пишется через дефис?

На последний вопрос имеем

Ответ 1: Потому что образованные люди часто читают coproduct как copro-duct.

(2 comments) - (Post a new comment)


[info]ivan_ghandhi
2006-05-22 05:31 pm UTC (link)
Please excuse my English.

It is not easy to read this, with half of definitions omitted.

What is K, what is R? Why do you call polynomials "objects"? When you say K[X} = FR(X) + K, do you mean they are isomorphic as additive groups, or as rings?

For a monoid M, do they really call the ring over K "group ring"? Funny.

On the other hand, the result, K[X] = Z[X] + K, looks beautiful, really, and quite unusual.

(Reply to this) (Thread)

[info]furia_krucha
2006-05-22 06:16 pm UTC (link)
K --- это произвольное кольцо (ввиду чудовищного разброда в номенклатуре добавляю: с единицей и ассоциативным умножением). Подробное рассмотрение ведётся для случая коммутативных колец, но в общем случае всё точно так же.

По поводу R. Ленг определяет многочлены следующим универсальным свойством: для произвольного множества X (множества переменных) и произвольного коммутативного кольца K (кольца коэффициентов), рассмотрим кольцо P, снабженное гомоморфизмом i:K->P и отображением множеств j:X->P, такое что, для произвольного коммутативного кольца R, произвольного гоморфизма колец p:K->R, и произвольного отображения множеств q:X->R, существует единственный гомоморфизм h:P->R замыкающий диаграмму до коммутативной. На самом деле, Ленг даёт не совсем такое описание, но это не важно. Важно, что мы имеем типичную диаграмму ко-произведения, только слагаемые из разных категорий. Попробую нарисовать:
X----------+
|          |
|j         |q
|          |
V    h     V
P.........>R
^          ^
|          |
|i         |p
|          |
K----------+

Кольцо P, определяемое таким условием с точностью до изоморфизма, и есть кольцо многочленов K[X].

По поводу "объектов": при таком построении не видно сразу, что элементы кольца K[X] это функции, поэтому я написал "объекты". Правильнее было бы "элементы", т.к. объекты путаются с объектами категории.

K[X] = FR(X) + K есть изоморфизм объектов категории колец. Справа ко-произведение в этой категории.

Термина "monoid ring" я не слышал, но имеется в виду очевидное изменение конструкции "group ring".


(Reply to this) (Parent)

(2 comments) - (Post a new comment)

Create an Account
Forgot your login or password?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…