The chronicler of 452 (furia_krucha) wrote,

Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка.

Изначальная формулировка теоремы Гёделя — полностью синтаксическая: если формальная теория из определённого класса непротиворечива, то она и неполна. Метафизический флёр ей придаёт семантический „довесок“ (точнее „долив“) — замечание о том, что недоказуемое гёделево высказывание истинно. Откуда и делается неутешительный вывод
формальные теории принципиально ущербны (неполны): они не могут доказать некоторые истинные высказывания.

Что же, в данном случае, понимается под истинностью? А то, что гёделево высказывание выполняется в „стандартной модели“ (no relation) арифметики, где термам формальной теории „из определённого класса“ сопоставляются выражения из обычных натуральных чисел и арифметических операций. Понятно, что непредвзятый наблюдатель (не постулирующий заранее, что модель важнее формальной теории) мог бы сделать совершенно симметричное заключение:
модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют.

Вот две точки зрения: первая считает первоначальной истину, вторая доказательство. Действительно ли они равноправны? Конечно нет, однако не по той причине (и не в ту сторону), как обычно полагают. Дело в том, то „синтаксис“, т.е. формальная теория и сопутствующее ей понятие доказательства — один, а соответствующих ему моделей (в которых определена истинность) — много. Поэтому синтаксические понятия, включая доказательство, обладают выделенным статусом, по отношению к массе возможных моделей. Более того, как успокаивает нас теорема Гёделя о полноте (более важная, чем её знаменитая почти-тёзка) высказывание доказуемо тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях. Значит недоказуемое высказывание, вроде гёделевого, обязательно ложно в некоторых моделях:
модели принципиально ущербны: в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют и которые необходимо ложны в других моделях (т.е. модели обязательно противоречат друг другу).

Представление о первичности истинности по отношению к доказательству и содержимого по отношению к форме очень древнее и распространённое. Вот некоторые его проявления:

  • математические объекты существуют автономно и независимо от нас;
  • классический натуральный ряд (т.е. инициальная модель аксиом Пеано) обладает особым статусом среди всех моделей;
  • математика есть неформализуемое созерцание эйдосов;
  • на самом деле Пятый Постулат Евклида (в совр. варианте — континуум гипотеза, аксиома выбора) верен (не верен);
  • „Какая сложная у тебя профессия: у меня столько идей, а не могу написать ни строчки“ — жалоба Э. Моне Малларме.

А вот как выглядит противоположная точка зрения:
  • Лейбниц не мог знать телефона Анны Карениной;
  • математика есть комбинаторная деятельность, как и сочинение сонетов, кулинария и военное искусство;
  • варьировать нижележащую теорию множеств (и даже логику) так же естественно и полезно, как и локальную систему координат;
  • „Стихи, мой друг, пишутся из слов, а не из идей“.

Не претендуя на историческую достоверность, первую систему взглядов можно назвать „вавилонской“ — жители Междуречья знали и использовали много полезных математических истин, но идея их доказательства в систематической форме им была неинтересна. Вторая же позиция, несомненно, греческая — торговцы и софисты не переставая что-то доказывали, включая и вещи совершенно бесполезные: „Со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»“ (Н. Бурбаки).

Шутка.
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
  • 40 comments