The chronicler of 452 - Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

Aug. 14th, 2010

09:56 pm - Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?

Previous Entry Share Next Entry

Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка.

Изначальная формулировка теоремы Гёделя — полностью синтаксическая: если формальная теория из определённого класса непротиворечива, то она и неполна. Метафизический флёр ей придаёт семантический „довесок“ (точнее „долив“) — замечание о том, что недоказуемое гёделево высказывание истинно. Откуда и делается неутешительный вывод
формальные теории принципиально ущербны (неполны): они не могут доказать некоторые истинные высказывания.

Что же, в данном случае, понимается под истинностью? А то, что гёделево высказывание выполняется в „стандартной модели“ (no relation) арифметики, где термам формальной теории „из определённого класса“ сопоставляются выражения из обычных натуральных чисел и арифметических операций. Понятно, что непредвзятый наблюдатель (не постулирующий заранее, что модель важнее формальной теории) мог бы сделать совершенно симметричное заключение:
модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют.

Вот две точки зрения: первая считает первоначальной истину, вторая доказательство. Действительно ли они равноправны? Конечно нет, однако не по той причине (и не в ту сторону), как обычно полагают. Дело в том, то „синтаксис“, т.е. формальная теория и сопутствующее ей понятие доказательства — один, а соответствующих ему моделей (в которых определена истинность) — много. Поэтому синтаксические понятия, включая доказательство, обладают выделенным статусом, по отношению к массе возможных моделей. Более того, как успокаивает нас теорема Гёделя о полноте (более важная, чем её знаменитая почти-тёзка) высказывание доказуемо тогда и только тогда, когда оно истинно во всех моделях. Значит недоказуемое высказывание, вроде гёделевого, обязательно ложно в некоторых моделях:
модели принципиально ущербны: в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют и которые необходимо ложны в других моделях (т.е. модели обязательно противоречат друг другу).

Представление о первичности истинности по отношению к доказательству и содержимого по отношению к форме очень древнее и распространённое. Вот некоторые его проявления:

А вот как выглядит противоположная точка зрения:

Не претендуя на историческую достоверность, первую систему взглядов можно назвать „вавилонской“ — жители Междуречья знали и использовали много полезных математических истин, но идея их доказательства в систематической форме им была неинтересна. Вторая же позиция, несомненно, греческая — торговцы и софисты не переставая что-то доказывали, включая и вещи совершенно бесполезные: „Со времён греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»“ (Н. Бурбаки).

Шутка.

(41 comments | Leave a comment)

Comments:

[User Picture]
From:falcao
Date:August 14th, 2010 08:31 pm (UTC)

апология классической модели арифметики

(Link)
Хотя у меня есть перед Вами "долг" со старых времён в виде пары неотвеченных комментов, я надеюсь, что Вы не будете возражать против того, чтобы помимо "замороженного мяса" Тигры покушали немного "свежатинки", раз уж она попалась под руку лапу :)

> Изначальная формулировка теоремы Гёделя — полностью синтаксическая

Так ли это? Если брать исторически "изначальную" формулировку, то она была усложнённой, и в неё входило условие "омега-непротиворечивости", которое далее было просто отброшено. Устроит ли Вас утверждение о том, что ТГ всего лишь можно сформулировать именно так, как Вы это сделали?

> модели принципиально ущербны (переполнены): в них оказываются верными высказывания, которые ниоткуда не следуют

Давайте прежде всего обратим внимание, что тот "наблюдатель", от имени которого произносится эта фраза, признаёт само "существование" моделей -- коль скоро он о них говорит. Тогда он наверняка признаёт и существование "стандартной" или "классической" модели. Если это так, то получается, что с его точки она как бы ничем не лучше остальных.

Поэтому я бы здесь прежде всего ставил бы вопрос именно так: есть ли какие-то доводы "за" или "против" того, что "классическая" модель натурального ряда в самом деле как-то "выделена". Если да, то это как бы "очко" в пользу "платонизма", а если нет -- то это "плюсадин" в "копилку" его оппонентов. Мне кажется, уже это "локальное" состязание (и его исход) уже говорило бы о многом.

Лично я высказывал некоторые доводы в пользу "выделенности" или "единственности" классического натурального ряда. При желании я мог бы их повторить, или высказать что-то новое на ту же тему.

Теперь ещё одно соображение. Если кто-то занимает позицию "правоты" доказуемости -- в противовес истинности, то неплохо было бы предъявить не абстрактный, а конкретный пример "конфликтного" утверждения. Из тех рассуждений, которые прозвучали у Вас, вроде бы следует, что такие утверждения должны быть. Однако предъявление реального примера могло бы многое поставить на свои места.

Здесь как раз годится пример Пятого Постулата. Ясно, что он будет истинным в одной модели (геометрии) и ложен в другой. Обычная точка зрения на этот вопрос заключается в том, что неевклидова геометрия нисколько не "хуже" евклидовой, то есть утверждается некий "равноправный" статус этих двух моделей. Кстати, замечу, что часто используемый аргумент против "платонизма" применяется здесь совсем неправомерно. Когда кто-то говорит, что Пятый Постулат истинен или ложен в неком "абсолютном" смысле, пытаясь вывести это как следствие "объективности" Мира Идей, то не учитывается совсем простое явление -- возможность существования нескольких "обителей". Которых, как известно из Евангелия, там вообще "много" :)

Корни этой ошибки достаточно прозрачны, и их даже не очень интересно анализировать. Но мыслимо ли аналогичное явление на базе арифметики? То есть можно ли предъявить какую-то альтернативную модель натурального ряда, которая была бы "не хуже" классической? Я всё-таки думаю, что нет. (Доводы, которые у меня есть в "арсенале", опять-таки за мной, если что.)

С континуум-гипотезой и аксиомой выбора ситуация не так проста, так как аксиоматизация Цермело - Френкеля (или другие ей "эквивалентные") многих особенностей просто не ухватывает. То есть тут несовершенство аксиоматизаций имеет даже более серьёзный "дефект" нежели неполнота формальной системы Пеано. В последнем случае легко указать саму причину неполноты. Это ярко видно уже на основании того, что соответствующая система аксиом второго порядка, где речь идёт о ВСЕХ свойствах чисел, а не только об арифметических (то есть выразимых на языке формальной теории) имеет одну -- классическую -- модель.

Так что я бы предпочёл говорить об одном "конфликтном" пункте, касающемся особого статуса натурального ряда. Что на этот счёт могут сказать "греки"? На примере бесед с людьми, которые придерживаются этой точки зрения, я не слышал ничего более разумного кроме "а вдруг существует такая модель, за которой закрепится статус, что она ничем не хуже классической?" Я бы хотел продвинуться чуть дальше этого уровня, если это вообще возможно.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 14th, 2010 09:25 pm (UTC)

апология доказательства

(Link)
Хотя у меня есть перед Вами "долг" со старых времён в виде пары неотвеченных комментов, я надеюсь, что Вы не будете возражать против того, чтобы помимо "замороженного мяса" Тигры покушали немного "свежатинки", раз уж она попалась под руку лапу :)
Честно говоря, я бы предпочёл разбираться с вопросами по-порядку, хотя тигр, конечно, зверь вольный. У меня всё укрепляется ощущение, что Магеллан вам надоел: опять целый месяц ничего не было слышно, хотя на „сладчайшего“ Гёделя, вы среагировали быстро. :-) Если это действительно так, то давайте придадим обсуждению какое-то завершение (как вы сами отмечали нам с вами именно его часто не хватало в прошлом), тем более, что за ним следим не только мы одни.

Так ли это?
Да, в этом я достаточно уверен. Про \omega-consistency и приём Россера я знаю. Вот формулировка из английского перевода Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I (я сравнил и с другим переводом, на всякий случай):
Theorem VI: For every ω-consistent [primitive] recursive class κ of FORMULAS, there exists a [primitive] recursive CLASS EXPRESSION r such that neither v Gen r nor Neg(v Gen r) belongs to Flg(κ) (where v is the FREE VARIABLE of r).

(Я добавил primitive, т.к. терминология Геделя отличается от современной.) Как видите, про истинность r ничего не говорится. Забавно, что как обычно, обсуждение немедленно ушло на google books. :-)

По поводу остального, в виду первого параграфа, отвечу пока совсем коротко: статус классического натурального ряда, это, несомненно, важный пример, но суть проблемы, не в нём (как вы наверное заметили, утвеждение о его исключительности единственное, для которого нет греческой пары), а в представлении, что есть истинность помимо, до (и вопреки!) доказуемости и что, соответственно, результат Гёделя демонстрирует некую „ущербность“ формализмов.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:August 15th, 2010 10:28 am (UTC)

других моделей у меня нет :)

(Link)
> я бы предпочёл разбираться с вопросами по-порядку

Я Вас вполне понимаю, но для меня ситуация выглядит примерно так: вот есть только что купленная свежая французская булка, и её можно прямо сейчас скушать :) А есть лежащий на полке давний сухарь, которому уже года полтора :) Его вообще-то никто не собирается выкидывать, и со временем планируется съест и его, но при наличии свежеиспечённого хлеба, ситуация выглядит вполне понятной.

> укрепляется ощущение, что Магеллан вам надоел

Это не совсем так. Тема мне по-прежнему интересна, но там мы многое уже как бы "исчерпали". В принципе, я за то, чтобы подвести под то обсуждение некую "черту", подытожив всё, что было сказано. А при обнаружении каких-то новых фактов или ссылок можно к этой теме возвращаться. Будучи на отдыхе, я не имел возможности Вам ответить в той ветке, но надеюсь на то, что по возвращении домой мы всё это приведём к какому-то "каноническому виду" :)

Насчёт изначальной формулировки я понял, что Вы имели в виду. Если "профильтровать" кое-какие второстепенные вещи, то получится "синтаксическая", а не "семантическая" формулировка, включающая в себя понятие истинности. В принципе, я не имею тут ничего против.

Основная мысль Вашего поста, как я понимаю -- это "перевернуть приоритеты". То есть посмотреть на результаты Гёделя как бы с другого "края". Но давайте зададим вопрос: почему формальные системы кто-то может считать "ущербными"? Ответ, наверное, состоит в том, что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий. То есть они не позволяют вывести все истинные утверждения об интересующих нас объектах. Это факт. А что получается у Вас? То есть от формализмов чего-то можно было ожидать, и это не оправдалось, а как насчёт моделей? Ведь они, в отличие от формальных систем, то есть "наук" -- это "зверушки", которых мы изучаем. И какие мы к ним можем предъявлять требования? Теорию мы можем усовершенствовать, добавив к ней новые аксиомы, но как мы можем повлиять на объективно существующий (с точки зрения "платонизма") натуральный ряд? Это получается примерно как с "другими писателями"! :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 15th, 2010 12:33 pm (UTC)

квадрат автомоделирования

(Link)
Но давайте зададим вопрос: почему формальные системы кто-то может считать "ущербными"?
Мне кажется потому, что математики в массе своей „вавилоняне“ (не хочу говорить о платонизме, потому что до Платона здесь еще дальше, чем до Гегеля), людям свойственно стремиться придать важность, а то и исключительность своему занятию. Это стремление имеет весьма почтенную историю, раньше то же самое делали поэты, ещё раньше земледельцы и охотники, усматривавшие в своей деятельности контакт с высшим и окружавшие его соответствующими ритуалами и традициями. Да вы сами это отлично знаете: типичная реакция профессиональных математиков на достаточно очевидную идею о пользе механической верификации доказательств весьма показательна (мы тут созерцаем трансцедентальное, какие компьютеры?). Считается, что „манипуляции символами“ это что-то второсортное, по сравнению с Приобщением к Духам Урожая, пардон, Истинной Модели Натурального Ряда. :-)

Ответ, наверное, состоит в том, что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий.
Ну это было бы странно. Кантор вот, надеялся через свою Mengenlehre устанавливать свойства божества, а у Пифагора были ещё более грандиозные планы. Мы же не станем из-за этого считать теорию множеств и всю математику ущербными?

То есть они не позволяют вывести все истинные утверждения об интересующих нас объектах. Это факт.
Это не факт, а порочный круг. :-) Вы постулируете существование высказываний истинных „сами по себе“, без доказательств, а потом используете этот постулат для особнования ущербности формализмов и примата истинности.

Ведь они, в отличие от формальных систем, то есть "наук" -- это "зверушки", которых мы изучаем. И какие мы к ним можем предъявлять требования?
Модели это те же самые математические конструкции. Истинность гёделевого высказывания (его выполнимость в стандартной модели) доказывается (стандартным математическим методом: от противного), а не „усматривается“ в объективно существующем натуральном ряде.

Вообще мне этот диалог напоминает средневековые теологические диспуты между христианскими и иудейскими богословами, где первые предъявляли вторым агрументы, основанные на авторитете Нового Завета. Вы исходите из вавилонской точки зрения, ну так и понятно, что греческая с ней не совместима. А для меня представление о истинных сами по себе высказываниях и автономных математических объектах вовсе не очевидно. Помните, вы в свое время, говорили, что мне надо отказаться от презумпции достоверности исторических знаний и исходить из вашей „сомневающейся“ точки зрения? Мне кажется, теперь вам нужно самому сделать подобное усилие.

Я Вас вполне понимаю, но для меня ситуация выглядит примерно так: вот есть только что купленная свежая французская булка, и её можно прямо сейчас скушать :)
Тут как бы получается, что производством новых булок, а обрекаю дорогой моему сердцу сухарь на гниение и забвение. Может быть удастся придать ему более аппетитный вид (соскоблив его ножом, да крох не бросив, а снеся в курятник), заметив, что мне вовсе не представляется, будто там уже всё исчерпано? Наоборот, ваша „трансфинитная“ точка зрения (как я себе ее представляю, в отсутствии явного описания) может быть предметов весьма интересного обсуждения. Вы и сами раньше отмечали, что „почти не бывало так, чтобы какая-то тема в результате обсуждения выглядела "завершённой, чтобы была какая-то "удовлетворённость". Напротив, всегда кажется, что чего-то немного не хватило“. Так давайте и, взяв здесь таймаут, дожмём „немного“ до „катарсиса“. :-)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:August 21st, 2010 07:00 pm (UTC)

ехал грека через реку

(Link)
Сейчас я дома, и можно вернуться к отложенным дискуссиям.

Производством "новых булок" Вы способствуете пробуждению интереса к "хлебобулочным изделиям", к числу которых принадлежит и Сухарь :) Сама мысль о возможности его выкинуть представляется мне "святотатством" :) Моё отношение к этому будет даже "покруче" плюшкинского :)

У меня ведь таких "куличей" по разным журналам скопилось очень много! Зная о Вашей заинтересованности, а также исходя из собственного стремления доводить начатое дело до конца, я присвоил той дискуссии весьма высокую степень приоритетности. Когда я чувствую, что мне позволяет время вернуться к одному из старых обсуждений, я начинаю с Вас. Но мои "физические" возможности ограничены, а я при этом категорически не допускаю отказа от потребления "свежей пищи". Это ведь фактически "выбросило" бы меня из ЖЖ на несколько месяцев, то есть я бы упустил кучу всего интересного и важного. Не говоря о том, что помимо "околонаучных" и "интеллектуальных" дискуссий, ЖЖ для меня выполняет и другую функцию: это как бы часть моей личной жизни. Так что поневоле приходится как-то чередовать одно с другим.

Теперь же -- по сути данного обсуждения.

Суть первого абзаца я понимаю, и со сказанным готов согласиться. То, что Вы вспомнили про автоматическую проверку доказательств -- это тоже хорошо. Здесь я как бы на Вашей стороне.

> Мы же не станем из-за этого считать теорию множеств и всю математику ущербными?

Не станем, но саму мысль Кантора нельзя считать "дискредитированной". В худшем случае, можно ставить вопрос о том, что некая реализация оказалась несовершенной или недостаточной. То есть из самого этого примера никакой "крамолы" извлечь вроде бы не получается.

> Это не факт, а порочный круг

Тут, наверное, один из самых важных моментов, и в нём надо в первую очередь разобраться. Прежде всего, там мысль высказывается от лица "грека", так как с "вавилонской" позицией всем всё ясно. В Вашем посте, где распространённый взгляд на вещи как бы "переворачивается", упоминаются "модели" (которые объявлены "принципиально ущербными" с излагаемой Вами точки зрения. То есть существование этих моделей Вами признаётся -- хотя бы в каком-то смысле. Например, классического натурального ряда -- Вы ведь о нём говорите. Далее я рассуждаю так: если дана модель (то есть "логико-алгебраическая система") определённой сигнатуры, а также дана формула языка первого порядка этой сигнатуры, то на данной модели она либо истинна, либо нет -- в соответсвии со стандартным определением истинности. То есть я не постулирую отдельно существование высказываний, истинных (в некой модели) "самих по себе". Это для меня вытекает из того, что слово "модель" разрешено употреблять.

Ещё мне интересно, каково представление Вашего "грека" о том, что есть "доказательство". Такое ощущение, что это понятие для Вас чуть ли не "абсолютно". Я же могу легко "настрогать" с десяток совершенно разных концепций на этот счёт. Какую из них Вы имеете в виду, употребляя оборот "без доказательств"?

Также я хотел бы здесь задать прямой и однозначный вопрос, ответ на который для меня многое бы прояснил в плане понимания позиции "грека". Возьмём какую-то сложную арифметическую формулу Ф без свободных переменных. Пусть мы при этом не располагаем доказательством ни самой формулы, ни её отрицания ни в какой конкретной приемлемой математической теории. С точки зрения "грека", имеет ли смысл само понятие "формула Ф истинна в классической модели натурального ряда"? Причём смысл максимально "абсолютный"? Если нет, то что предлагается взамен?

> Мне кажется, теперь вам нужно самому сделать подобное усилие.

Так я ничего не имею против, но я пока не вижу альтернативы! В случае истории всё просто: там сомнению подвергается достоверность каких-то фактов, считающихся твёрдо установленными. Правомерны ли эти сомнения, это отдельный вопрос, но тут хоть что-то можно предложить взамен. А что Вы мне бы порекомендовали вместо классического натурального ряда? Неужели какую-то из нестандартных его моделей? Или что-то вообще другое?

В данном случае Ваша точка зрения кажется мне просто недовысказанной. То есть я не знаю, какие положения Вами признаются и принимаются. То есть я к тому, что надо бы понять, в какой "пункт назначения" хочет прибыть "грека" :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 27th, 2010 02:49 pm (UTC)

не всякая птица

(Link)
Не станем, но саму мысль Кантора нельзя считать "дискредитированной". В худшем случае, можно ставить вопрос о том, что некая реализация оказалась несовершенной или недостаточной. То есть из самого этого примера никакой "крамолы" извлечь вроде бы не получается.
Я тоже не вижу здесь никакой крамолы, но, боюсь, это из-за недопонимания. :-) Попробую выразиться яснее: вы предположили, что формальные системы считают ущербными потому, „что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий“. Я понял это как ссылку на финитистскую программу Гильберта (термин неудачный, хотя бы и грамматически: „финитистский“ это относящийся к „финитисту“, т.е. человеку, как и „туристский“, и конечно „педантский“ :-) ). Мне кажется, что из „краха“ конкретной программы Гильберта, нельзя вывести никакой крамолы в отношении формализмов в целом, что я и пытался продемонстировать примерами других известных „крахов“.

Тут, наверное, один из самых важных моментов, и в нём надо в первую очередь разобраться.
Согласен. С греческой точки зрения, в утверждении „они не позволяют вывести все истинные утверждения об интересующих нас объектах“ проблематично прежде всего само представление о том, что формальная арифметика и ее модель изучают одни и те же объекты. В другом комментарии было замечено, что с точки зрения последовательного грека, свойства математических объектов и их сущность суть совокупность доказуемых о них утверждений. Свойства объектов формальной арифметики т.с. „формальных чисел“ это совокупность всевозможных доказательств в формальной арифметике (гёделевого высказывания среди них нет), а свойства объектов некой данной модели натурального ряда, т.с. „модельных чисел“, это всё, что мы можем доказать о этой модели в „неформальной математике“, внутрь которой она погружена. Вообще говоря, нет никаких оснований заранее считать, что эти объекты одинаковы. И действительно, оказывается, что они разные: в неформальной математике можно доказать утверждения, соответствующие недоказуемым в погруженной в неё формальной арифметике, но, к сожалению, не во всех моделях.

Такое ощущение, что это понятие для Вас чуть ли не "абсолютно".
Вовсе нет. Я согласен, что понятие доказательства очень широко, но мне не кажется, что в данном случае требуется его сужение (за исключением, очевидно, доказательств в формальной теории). Если вы считаете, что греческая точка зрения влечёт какие-то ограничения на класс допустимых доказательств, то было бы интересно узнать почему.

Также я хотел бы здесь задать прямой и однозначный вопрос, ответ на который для меня многое бы прояснил в плане понимания позиции "грека". Возьмём какую-то сложную арифметическую формулу Ф без свободных переменных. Пусть мы при этом не располагаем доказательством ни самой формулы, ни её отрицания ни в какой конкретной приемлемой математической теории. С точки зрения "грека", имеет ли смысл само понятие "формула Ф истинна в классической модели натурального ряда"?
Нет не имеет.

Если нет, то что предлагается взамен?
Мне кажется было бы полезно сначала обосновать зачем нужно что-то взамен. В каких случаях это нечто необходимо? Приведите пример такого Ф.

А что Вы мне бы порекомендовали вместо классического натурального ряда? Неужели какую-то из нестандартных его моделей? Или что-то вообще другое?
Тут мне пришла в голову вавилонская аналогия: „да неужто вы предлагаете заменить Иштар на Мардука?“ :-) Даже не на Христа и Дж. Смита. Лучше заниматься сравнительным анализом религий. Почему классический натуральный ряд так важен?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:August 28th, 2010 10:23 am (UTC)

примеры формул

(Link)
> с точки зрения последовательного грека, свойства математических объектов и их сущность суть совокупность доказуемых о них утверждений

Вот это-то мне как раз и не нравится, потому что состояние наших знаний меняется, а изучаемые объекты остаются теми же самыми. Множество простых чисел всегда было бесконечно "само по себе", а мы (с помощью Евклида) этот факт всего лишь открыли.

> Если вы считаете, что греческая точка зрения влечёт какие-то ограничения на класс допустимых доказательств, то было бы интересно узнать почему.

Я считаю, что "сужение" происходит тут само по себе из-за ограниченности подхода. Скажем, вчера какого-то метода доказательств не было, а сегодня он появился, и его стали применять. Значит, наши вчерашние представления были неполными. Может, сегодняшние, наконец-то стали "полными"? Товарищ Гёдель уверяет нас в том, что и это не так.

> Нет не имеет.

Я задавал этот вопрос с целью понять, в какой мере Ваша "отрицающая" позиция является "радикальной". Теперь я понимаю, что в очень сильной степени.

> Приведите пример такого Ф.

"Такого" -- это какого? Мне кажется, пример должен исходить от Вас, потому что Вы отрицаете понятие истинности арифметических формул (на классической модели). Тогда было бы уместно привести такой пример формулы Ф, что ни её саму, ни её отрицание нельзя считать истинными. Точнее, тут подошёл бы любой пример открытого в математике вопроса, поэтому лучше было бы взять дизъюнкцию Ф or not(Ф). С точки зрения "классической", это есть нечто тождественно истинное, а с Вашей, насколько я понимаю, нет. Тогда Вы мыслите что-то третье, которое для "классика" -- non datur. И вот я хотел бы понять, как для Вас этот случай мог бы выглядеть.

И давайте я всё-таки приведу пример: будем говорить об арифметике целых чисел, и рассмотрим уравнение x^3+y^3+z^3=33. Добавим кванторы существования по всем переменным, и пусть это будет наша формула Ф. Вы можете как-то описать возможное положение вещей в природе, когда она и не истинна, и не ложна?

Ну или возьмём какое-то очень большое число типа N=10^{10^10}, до которого "нельзя досчитать", и применим к нему теоретико-числовую функцию π -- количество простых, не превосходящих данного. Теперь в качестве формулы Ф возьмём утверждение "п(N) чётно". Я не знаю, истинно ли оно, и вряд ли кто-то это знает, но я вижу способ, при помощи которого в этом потенциально можно убедиться. Наличие такого способа для Вас влечёт какие-то следствия?

На вопрос "почему классический натуральный ряд так важен" я бы охотно ответил, но я не знаю, что Вы тут пытаетесь выяснить. Вроде бы мы признаём важность математики хотя бы в её "традиционном" срезе. Сюда входит тогда и "царица математики", то есть арифметика, которая этими вопросами и занимается: она изучает натуральный ряд и свойства чисел, его составляющих. Гипотеза Римана важна? Если Вы скажете, что нет, то я боюсь, что Вас могут не понять.

Сейчас я "дрожащим голосом" и очень осторожно сообщаю, что если в ближайшие минуты не произойдёт светопреставления или какого-то ещё "форс-мажора", то я Вам напишу ответ в ветке про Магеллана :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 5th, 2010 10:34 am (UTC)

exempla odiosa sunt

(Link)
состояние наших знаний меняется, а изучаемые объекты остаются теми же самыми.
Вы опять исходите из вавилонской точки зрения, причём в весьма радикальной форме, утверждающей, что математические открытия сродни географическим. Между континуумом Евклида и, скажем, Цермело-Френкеля, весьма мало общего. Сравните идею о том, что математические объекты „одни и те же“ с представлением что языки не меняются: раз язык назывался (якобы) русским тысячу лет назад, то это и есть та же самая идеальная сущность у которой лишь поменялись некие „атрибуты“. На самом же деле, границы таких сущностей совершенно произвольны.

Скажем, вчера какого-то метода доказательств не было, а сегодня он появился, и его стали применять.
Они стали представлениями о других вещах, т.к. сущности и определяется доказуемостью.

Мне кажется, пример должен исходить от Вас, потому что Вы отрицаете понятие истинности арифметических формул (на классической модели).
Да, а вы спросили, что предлагается взамен. Я хотел уточнить, зачем нужно что-то взамен, т.е. когда для нас интересна истинность формулы без доказательства. Для понимания этого было бы неплохо рассмотреть пример формулы в каком-либо смысле истинной без доказательства.

поэтому лучше было бы взять дизъюнкцию Ф or not(Ф). С точки зрения "классической", это есть нечто тождественно истинное, а с Вашей, насколько я понимаю, нет.
Тут какое-то недоразумение. Формула <Ф or not(Ф)>, как и всякая тавтология, доказывается исчислением высказываний, значит она будет для „грека“ истинной.

Мне кажется я понял смысл приводимых вами далее примеров. Очень удачно, что вы заговорили про различные типы доказательств. Например, для гипотезы Римана у нас нет доказательства, но есть некие более слабые „пре-доказательства“, вроде информации о распределении первых нетривиальных нулей. Соответственно, хотя для „грека“ эта гипотеза и не истинна, она в некотором смысле „немножко истинна“ (или „почти истинна“).

Что касается „картины мира“ то, насколько я понимаю, вы видите проблему в том, что всякая замкнутая формула может быть проинтерпретирована в Истинном Идеальном Натуральном Ряде, который обладает свойствами наших неидеальных математических моделей, а именно, в нём всякое высказывание может быть (разными способами) помечено символом из алфавита {T, F}. Но в греческом мире вообще нет ИИНР, поэтому нет и проблемы.

"царица математики", то есть арифметика, которая этими вопросами и занимается: она изучает натуральный ряд и свойства чисел, его составляющих.
Это опять же вавилонский взгляд на вещи. На самом деле, объективно наблюдаемая активность математиков состоит в построении доказательств. Вполне возможно, что некоторые или многие математики считают, что таким образом они причащаются мира горнего, примерно как крестьяне, певшие ритуальные песни во время молотьбы. Как известно, „учёные разбираются в методологии науки так же, как рыбы в гидродинамике“. :-)

Давайте попробуем подойти в вопросу с другой стороны. Рассмотрим противоречивые формальные теории. У них нет моделей. В том числе им, насколько я понимаю, не соответствует никаких вавилонских эйдосов. Однако, математики совершенно нормально и продуктивно работают в таких теориях: всякое доказательство от противного начинается с осознанного перехода в такую теорию. Получается, что значительная часть математической активности происходит заведомо вне „царства эйдосов“.

Сейчас я "дрожащим голосом" и очень осторожно сообщаю, что если в ближайшие минуты не произойдёт светопреставления или какого-то ещё "форс-мажора", то я Вам напишу ответ в ветке про Магеллана :)
Замечательно! Я непременно отвечу в ближайшее время.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:September 5th, 2010 04:16 pm (UTC)

греки на допросе :)

(Link)
По поводу сравнения с языками: допустим, в русском или каком-то другом языке были артикли, а потом их не стало. Это различие позволяет сказать, что здесь речь идёт о двух разных объектах. Можно ли представить себе что-то подобное на базе арифметики? Типа, свойства чисел со временем "развиваюццо"? :)

Ведь именно фактор "неизменности" и лежит в основе представления о том, что "мир чисел" в каком-то смысле "существует".

Далее, я хотел бы уточнить, что Вы понимаете под "доказательством". Если это есть какое-то средство установления истинности фактов, то это одно. С таким толкованием я бы мог согласиться, но тогда в основе должно лежать представление об истинности. Если же речь о формальных выводах в каких-то исчислениях, и "доказательством" считается только это, тогда Вы стоите на позиции "комбинаторной игры в символы". Такая точка зрения кажется мне слабой, потому что многие содержательные исследования перестают иметь такую форму. Например, кто-то предложил новую аксиоматику чего-нибудь -- он при этом ничего не "вывел". Вот принцип математической индукции сам по себе ведь полезная вещь? А его когда-то "открыли" или "придумали". С моей точки зрения, к нему пришли естественным путём в процессе "созерцания эйдосов". А с Вашей?

> рассмотреть пример формулы в каком-либо смысле истинной без доказательства

Это мне немного напоминает пример Рассела с наименьшим числом, о котором никто никогда не думал :) Если слово "доказательство" понимать как "установление истинности", то само заявление об истинности уже предполагает какое-то "доказательство" в широком смысле этого слова. То есть тут мы никакого примера не найдём.

> Тут какое-то недоразумение.

Это действительно так, но не с моей стороны. Дело в том, что Ф or not(Ф) лишь в предположении "осмысленности" Ф. А у нас "конфликтный" вопрос как раз этого и касается!

Вы, кстати, говорите, что эта формула для "грека" будет "истинной", но не уточняете, в каком именно смысле. Ведь если исходить из классического определения истинности, то получается, что либо Ф следует считать истинной, либо таковой следует считать не-Ф. Я, собственно, об этом изначально и спрашивал. То есть в качестве примера берём сложно устроенную замкнутую арифметическую формулу Ф с "неясным" смыслом. "Платонист", конечно, считает, что либо Ф истинна "абсолютно", либо не-Ф. "А что у вас?" (с)

Сейчас я приведу ещё вот какой пример. Он важен в том смысле, что не опирается на слишком сильный постулат о существовании ИИНР. Рассмотрим уравнение x^3+y^3+z^3=33. Науке на данный момент неизвестно, имеет ли оно решение в целых числах. Можно написать простую программу, которая перебирает все тройки и подставляет их в уравнение. Тогда факт истинности или ложности утверждения о существовании решения будет равносилен факту остановки или бесконечной работе "вычислителя", соответственно. Что на этот счёт думает "грек"? Верит ли они здесь в правомерность применения принципа "или-или"? Мне бы хотелось узнать чёткий и определённый ответ.

Моя мысль вот какова: если Вы скажете "да", то я могу чуть усложнить пример формулы. И если ответ везде будет "да", то тогда его можно обобщить на все случаи. Но ведь если дял каждой из замкнутых формул подразумевается ответ "да" или "нет", то совокупность всех таких "правильных" ответов и есть ИИНР "собственной персоной"! Поскольку Вы в это не верите, я хочу Вас "поймать" на какой-то конкретной формуле, для которой принцип "или-или" Вы отвергаете. И тогда уже можно было бы расследовать, почему.

> объективно наблюдаемая активность математиков состоит в построении доказательств

Как я показал выше, она состоит не только в этом.

> учёные разбираются в методологии науки так же, как рыбы в гидродинамике

Уж с чем-чем, а с этим-то я всецело соглашусь! :)

Пример с противоречивыми теориями мне совершенно понятен, но он мне кажется неинтересным. Совершенно ясно, что "объктом", который при этом изучается, является не модель, удовлетворяющая противоречивым требованиям (хотя и её можно было бы искусственно ввести как особый "эйдос" типа программистской ссылки с "несуществующим" адресом), а всего лишь множество утверждений, выводимых по определённым правилам. Это вполне себе "эйдос", легко описываемый даже в терминах комбинаторики.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 5th, 2010 05:51 pm (UTC)

в подвалах аккадской чека

(Link)

Можно ли представить себе что-то подобное на базе арифметики? Типа, свойства чисел со временем "развиваюццо"? :)
Давайте сделаем шаг назад. Вы правильно отметили, что я хочу посмотреть на результаты Гёделя как бы с другого "края". Краёв получается два: греческий и вавилонский. По идее мы их сравниваем. Мне кажется достаточно очевидным, что для при обсуждении того, как одна из позиций справляется с описанием некоторой ситуации, нельзя использовать аргументы, предполагающие согласие с противоположной позицией (я уже пытался описать эту проблему ссылкой на средневековые диспуты). Например, я разумеется понимаю, что у вас есть серьёзные основания считать числа некоей вневременной автономной сущностью, обладающей свойствами, которые математики изучают. Однако, опираться на эти основания для критики положения о том, что „с точки зрения последовательного грека, свойства математических объектов и их сущность суть совокупность доказуемых о них утверждений“ бессмысленно, потому что, если вы уже встали на вавилонскую точку зрения, то греческая тем самым исключена и обсуждать нечего.

Здесь полная симметрия с обсуждениями истории, где на ваши сомнения вам отвечали, что, мол, нужно книжки читать.

В частности, для грека, повторю, свойства чисел есть то, что про них можно доказать и они, разумеется, меняются со временем. Евклид бы не оценил множества Витали.

С моей точки зрения, к нему пришли естественным путём в процессе "созерцания эйдосов". А с Вашей?
С моей точки зрения принцип индукции был выделен индукцией (т.е. обобщением) по существовавшим доказательствам. Я не считаю, что доказательства устанавливают какие-либо „факты“ за пределами формальной системы, где они проводятся.

То есть тут мы никакого примера не найдём.
Раз таких Ф нет, то что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?

Дело в том, что Ф or not(Ф) лишь в предположении "осмысленности" Ф
Сама формула Ф предполагается осмысленной (т.е. правильно-построенной, well-formed). Если же вы про то, что Ф приписано какое-то truth value, то исчисление высказываний можно изложить полностью синтаксически.

Вы, кстати, говорите, что эта формула для "грека" будет "истинной", но не уточняете, в каком именно смысле.
Прошу прощения. Я пытался изложить ответ в терминах вопроса. Можно считать „истинно“ синонимом „доказуемо“, когда оно произносится греком.

Верит ли они здесь в правомерность применения принципа "или-или"? Мне бы хотелось узнать чёткий и определённый ответ.
С точки зрения грека, протокол работы этой программы и будет неким доказательством (бесконечной длины) Ф. Принцип „или-или“ есть утверждение о том, что формальная арифметика с такими экзотическими правилами построения доказательств — полна.

Но ведь если дял каждой из замкнутых формул подразумевается ответ "да" или "нет", то совокупность всех таких "правильных" ответов и есть ИИНР "собственной персоной"!
Боюсь я опять вижу здесь порочный круг. Чтобы построить таким образом идеальный и автономный ряд натуральных чисел, нужны идеальные и автономные вычислительные машины, которые, разумеется, уже подразумевают ИИНР.

Совершенно ясно, что "объктом", который при этом изучается, является не модель, удовлетворяющая противоречивым требованиям..., а всего лишь множество утверждений, выводимых по определённым правилам.
Этот аргумент кажется мне весьма искусственным. В математической практике доказательства от противного одноранговы „обычным“ доказательствам. Было бы весьма странно считать, что начиная доказательство от противного, математик внезапно перескакивает от изучения модели к изучению мета-модели. Насколько я знаю из личного опыта и из общения с другими математиками, введя гипотезу, вносящую противоречие, мы продолжаем думать о математических объектах и их соотношениях (хотя никакой модели уже не существует), а не рассуждаем о системе утверждений.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:September 6th, 2010 08:40 am (UTC)

афинско-багдадская магистраль

(Link)
> нельзя использовать аргументы, предполагающие согласие с противоположной позицией

А просто "здравые" аргументы, которые не предполагают априорную принадлежность к одной из позиций, приводить можно? У Вас получается, что "развитию" подвержены сами свойства чисел, в то время как у меня -- состояние наших знаний. Вторая точка зрения мне кажется более естественной, потому что там можно указать на причину изменений.

Кроме того, если в двух разных уголках земного шара так получилось, что уровень знаний оказался разным, а изучается вроде бы "одно и то же", то чью точку зрения считать "образцовой"?

> для грека, повторю, свойства чисел есть то, что про них можно доказать

Даже в такой формулировке присутствует другой смысл. "То, что можно доказать" обладает уже некоторой степенью объективности (скажем, "2x2=5" Вы не докажете, так как это неверно). А вот то, что доказали на сегодняшний день -- это вещь "изменчивая" и потому малоинтересная.

Кроме того, я в очередной раз ставлю вопрос, что Вы понимаете под "доказательством". Это чисто интуитивная вещь, или вывод в ZFC, или то, что будут понимать под этим люди XXII века? Вы дайте хотя бы краткое толкование, а то многие вопросы стали в это явно "упираццо".

> Евклид бы не оценил множества Витали

Здесь проблема в многозначности понятия "числа". Ясно, что до какого-то момента не было никаких чисел кроме рациональных. В таком контексте говорить о множестве Витали невозможно. Однако я не вижу никаких изменений, которые бы затронули понятие натурального числа. Здесь Вы можете привести пример какой-нибудь "эволюции" взглядов?

> принцип индукции был выделен индукцией (т.е. обобщением) по существовавшим доказательствам

Вот это мне уже больше нравится! Но заметьте, что до этого обобщения не было самой формальной системы аксиом Пеано, а какие-то рассуждения проводились. Например, люди умели доказывать, что 1+2+...+n = n(n+1)/2. Причём мне интересно "греческое" мнение насчёт того, получаются ли за счёт формальных и словесных манипуляций какие-то "верные" выводы с точки зрения "обиходного" толкования. Типа того, что если подставить в обе части число, то результат должен совпасть. Я думаю, Вы так всё-таки считаете, а тогда получается, что доказательства хотя бы отчасти дают истинные уже в другом смысле результаты, то есть эмпирически проверяемые. Поскольку Вы отождествили истинность с доказуемостью, то можно такие факты называть "верными".

> что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?

Для меня как "эмпирика" теряется факт получения знаний об окружающей нас действительности. Это как минимум.

> формальная арифметика с такими экзотическими правилами построения доказательств — полна

Но ведь при таком подходе вообще исчезает "демаркационная линия" между "Грецией" и "Вавилоном"! Становится возможным сварить "суп из топора". Истинность арифметических формул тогда вполне описывается в рамках программ, которые могут работать "ординальное" время. Я думаю, не надо пояснять этот довольно стандартный ход мысли?

> нужны идеальные и автономные вычислительные машины, которые, разумеется, уже подразумевают ИИНР

Не совсем так: это предположение об "идеальных машинах" всё-таки выглядит для меня чуть более "слабым". Хотя ясно, что тут должно быть что-то, выходящее за рамки "осуществимого" опыта.

> мы продолжаем думать о математических объектах и их соотношениях

Ну вот пусть мы решаем какую-то систему линейных уравнений, которая несовместна. Естественно считать, что мы думаем при этом о множестве её решений. Это на самом деле так, и тут нет "искусственности". Это множество оказывается пустым, только и всего.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 7th, 2010 12:52 pm (UTC)

Ремонтные работы ведёт СМУ им. Д. Гильберта. (0)

(Link)

А просто "здравые" аргументы, которые не предполагают априорную принадлежность к одной из позиций, приводить можно?
Конечно можно, но...

У Вас получается, что "развитию" подвержены сами свойства чисел, в то время как у меня -- состояние наших знаний.
У „нас“ нет разницы между свойствами чисел и тем, что про них известно. Предполагать, что существуют свойства чисел, независимые он наших знаний это значит наделять числа автономным статусом.

Вторая точка зрения мне кажется более естественной, потому что там можно указать на причину изменений.
А мне кажется ровно наоборот. :-) Что такое „наши знания“ мы вроде бы понимаем. Затем вводится новая сущность — ИИНР о, котором (якобы) наши знания. Возникает вопрос о том, как теперь описать явно наблюдающиеся изменения, и затруднение блестяще разрешается вспоминанием того, что кроме неизменного ИИНР есть ещё и знания! Тут всё хорошо, кроме того, зачем этот ИИНР вообще был нужен.

чью точку зрения считать "образцовой"?
Боюсь я не совсем понимаю вопрос. Если „уровни знания“ вложены, например, Б знает всё, что знает А, плюс результат Х, то ответ вроде бы очевиден. Если же уровни „несоизмеримы“ (разные определения, разные результаты), то непонятно, что имеется в виду под образцовостью. Если ограничиться приложениями математики к какой-то конкретной практической области, то там скорее всего будут какие-то критерии эффективности, но вряд ли они будут согласованы по всем возможным областям.

скажем, "2x2=5" Вы не докажете, так как это неверно... А вот то, что доказали на сегодняшний день -- это вещь "изменчивая" и потому малоинтересная.
Во-первых, как вы сами только что продемонстрировали, не такая уж и изменчивая. :-) Во-вторых, мне кажется, что вы опираетесь на некий критерий интересности, явно его не сформулировав. Хоть я его и не знаю, мне кажется достаточно очевидным, что он не универсален. Есть много интересных изменчивых вещей. Более того, идея о том, что только вечное („нетленка“) достойно нашего времени кажется мне весьма характерной для вавилонского взгляда на вещи с его приматом эйдосов.

Кроме того, я в очередной раз ставлю вопрос, что Вы понимаете под "доказательством". Это чисто интуитивная вещь, или вывод в ZFC, или то, что будут понимать под этим люди XXII века? Вы дайте хотя бы краткое толкование, а то многие вопросы стали в это явно "упираццо".
И то, и другое и третье. Разные доказательства приводят к разным объектам.


Однако я не вижу никаких изменений, которые бы затронули понятие натурального числа.
Скажем, Евклид не оценил бы идею неразрешимого множества или структуру счётной модели ZFC или не главный ультрафильтр на \omega да и много чего другого.

Типа того, что если подставить в обе части число, то результат должен совпасть.
Греческое мнение тут в том, что такое совпадение можно доказать ((\forall x P(x)) \ergo P(n)). Что же касается, скажем, подсчёта тигров (а не подстановки чисел), то как раз в вавилонской точке зрения возникает необходимость объяснять, почему результаты идеальных умозрительных построений вдруг оказываются столь удачно применимы на практике. Лет 300 назад не стеснялись прямо ссылаться на божественное устроение, а теперь вот приходится объяснять the unreasonable efficiency of mathematics. Конечно, правдоподобные объяснения придумать можно, что сам факт того, что имеется „чудо“, требующее объяснения, весьма характерен.

[что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?]
Для меня как "эмпирика" теряется факт получения знаний об окружающей нас действительности.

Мне кажется, здесь потерялся некоторый контекст. Вы спросили, имеет ли смысл выражение „Ф истинно“, когда для Ф нет ни доказательства, ни опровержения. Нет. Вы спросили, что предлагается взамен. Я попросил привести пример такого Ф, чтобы понять, что нужно взамен. Выяснилось, что таких Ф нет. Тогда возникает вопрос, зачем нужно что-либо взамен, если ничего не теряется (т.к. описанных ситуаций не бывает).

[Окончание следует.]

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 7th, 2010 12:55 pm (UTC)

Ремонтные работы ведёт СМУ им. Д. Гильберта. (1)

(Link)

[Окончание.]

Но ведь при таком подходе вообще исчезает "демаркационная линия" между "Грецией" и "Вавилоном"!
Разумеется! Если для вас истинность это то, что устанавливается неким доказательством, пусть даже и в форме полной индукции, то, καλωσόρισμα, falcao. :-)

предположение об "идеальных машинах" всё-таки выглядит для меня чуть более "слабым"
Если я правильно понял конструкцию вашего проверяющего автомата, то он эквивалентен машине Тьюринга. Это вроде бы в точности ИИНР.

Естественно считать, что мы думаем при этом о множестве её решений.
Давайте, для примера, рассмотрим какое-либо известное доказательство от противного. Например, бесконечности числа простых, раз уж я вызвал дух Евклида. Оно немедленно переходит в противоречивую теорию у которой нет моделей. Тем не менее, мы продолжаем оперировать с „объектами“ этой теории, т.е. числами: составляем их произведения, суммы, изучаем делимость — всё это при отсутствии хоть одной модели. В математической практике объекты, используемые в ходе доказательства от противного, ничем не отличаются от „обычных“. Однако, первым не соответствует никаких идеальных объектов. Следовательно, математическим объектам не соответствуют никакие идеальные объекты.

Конечно, можно „наложить заплатку“, для спасения эйдосов: сказать, что математики „как-будто“ переходят в мета-систему, или какой-то другой „особый режим“ работы. Однако сам факт того, что такая заплатка необходима показывает, что вавилонская точка зрения неправильно описывает функционирование значительной части математики.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:September 7th, 2010 04:07 pm (UTC)

"Гомер не знал о пылесосе" (1)

(Link)
Вы своими высказываниями заставили меня вспомнить бессмертные строки Виктора Бокова :)

> Предполагать, что существуют свойства чисел, независимые он наших знаний это значит наделять числа автономным статусом.

Это я понимаю, но именно по такой причине мне Ваша точка зрения и представляется "экзотической". Получается, что "зоология" есть, а "жЫвотных" -- нет! :)

> зачем этот ИИНР вообще был нужен

Например, для того, чтобы обосновать тот феномен, что ответы на осмысленные вопросы от нас в принципе не зависят. Мы можем узнать или не узнать ответ на какой-то вопрос, но если так было, что он "от природы" был "да", то невозможно себе представить, чтобы на него был получен ответ "нет", и наоборот.

> Если „уровни знания“ вложены

Давайте возьмём случай, когда есть какая-то общая основа, но при этом в Европе умеют доказывать факт X, а в Индии этого не умеют, зато могут доказать факт Y.

> не такая уж и изменчивая

Почему же? Когда доказали новый факт, то согласно вашей точке зрения всё изменилось! Для меня неизменность присутствует в том, что ответ всегда предопределён, а что Вы думаете по этому поводу?

> что вы опираетесь на некий критерий интересности, явно его не сформулировав

В точности так же, как Вы по отношению к доказательствам! Категория "интересности" -- "исторична", и у Вас так же обстоит дело с доказательствами. Но я не могу счесть "историчной" категорию истинности. Ведь применительно к математике это никак не зависит от того, победил на выборах Гор или Буш?

> идея о том, что только вечное („нетленка“) достойно нашего времени

Эта идея чисто "внешняя", и её можно принимать или не принимать. То есть это что-то на уровне эстетических предпочтений. Но в любом случае есть Пушкин, а есть граф Хвостов :)

> Евклид не оценил бы идею неразрешимого множества

Честно говоря, я не знаю. Возможно, если бы он прослушал курс теории алгоритмов, то мог бы и оценить. Ультрафильтры, кстати, находятся уже несколько на другом уровне. Можно опираться на идею ИИНР в "слабой" форме, то есть брать за основу некий язык, где об ультрафильтрах говорить нельзя.

> такое совпадение можно доказать

Тут происходит некая подмена. Если на математические рассуждения смотреть как на "манипуляцию с символами", то совершенно непонятно, как получается, что человек, умеющий считать, но не знающий теории доказательств, получает совпадение результатов прямых вычислений для 1+2+...+n и n(n+1)/2. И как раз именно в этой связи обычно и поднимают вопрос о "непостижимой эффективности", который для "платониста" вообще не возникат. Было бы смешно говорить о "непостижимой эффективности зоологии" в контексте того, что "у кошки четыре ноги" :)

Для "платониста" любое доказательство -- это разговор об объекте и его свойствах, а формальная запись совершенно "вторична". То, что вошёл в моду "атеизм", ставший наряду с Богом отрицать Идеальное -- это и послужило причиной возникновения "псевдовопроса" насчёт efficiency.

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:September 7th, 2010 04:08 pm (UTC)

"Гомер не знал о пылесосе" (2)

(Link)
> Мне кажется, здесь потерялся некоторый контекст.

Мне тоже так показалось, поэтому я предлагаю зайти с другого конца -- это к вопросу о выявлению требуемого примера формулы Ф или её "эквивалента".

Будем рассматривать подмножества декартовой степени Z. Какие-то из них могут быть очень сложными, и в этом смысле "не существовать" для Вас. Но есть совсем простые, и их Вы должны всё-таки в каком-то смысле признать "существующими". В качестве таковых я предлагаю взять пока что все арифметические свойства, задаваемые диофантовыми уравнениями вида P(x1n)=0. Про такие множества, наверное, можно утверждать, что они "существуют" или "явно заданы".

Далее рассматрим две стандартные операции: переход от множества к его дополнению, а также взятие проекции на все координаты кроме одной. Понятно, какой класс множеств получается в результате применения этих операций к множествам из предыдущего абзаца.

Далее возникат дилемма: или признать все такие множества "существующими" (или "хорошо определёнными"), что в каком-то равносильно принятию ИИНР. Либо долно найтись "хорошее" множество M, у которого либо дополнение, либо проекция есть множество уже "плохое". Это как раз примерно тот пример, который я бы хотел увидеть. Допускаю, что Вы его можете не иметь в наличии, но меня устроила бы твёрдая Ваша вера в то, что он может быть обнаружен и указан.

> καλωσόρισμα

На это мне хочется сказать "нет, уж лучше вы к нам!" :) Дело в том, что я у Вас уловил момент "незаконного" проникновения на "вавилонскую" территорию, в связи с чем и поставил вопрос насчёт "супа из топора".

> Это вроде бы в точности ИИНР.

Я всё-таки хотел бы говорить об "ослаблении", потому что тезис о существовании ИИНР скорее философский, и на принятие его "греком" я рассчитывать в принципе не могу. Но я тогда начинаю говорить об арифметических множествах, как выше, и такие конструкции вроде бы более приемлемы, ибо они "конструктивны". О машинах тоже можно было бы говорить, наверное, но там пришлось бы рассматривать такие отсутствующие в природе устройства, которые совершают бесконечную серию операций за "конечное время". Поэтому я предлагаю рассматривать пример с множествами -- так больше шансов что-то прояснить.

> мы продолжаем оперировать с „объектами“ этой теории

Правильно ли я понимаю, что Вы просто берёте пример рассуждения в "невозможной ситуации"? И констатируете тот факт, что мы какое-то время рассуждаем об объекте, который существовать не может. И тогда вполне законно спросить, что коль скоро тут мы рассуждать можем, а "объекта" в принципе нет, то почему бы тогда не считать, что арифметика как набор рассуждений есть, а "мира чисел" -- нет?

Я думаю, разрешить возникшую трудность легко. Можно считать, то мы в каждый момент рассматриваем нечто существующее. Но имеем в виду не один "эйдос" (или не одну "модель"), а несколько. В одном "мире" x=1, в другом же -- x=2. Каждый из этих двух "миров" непротиворечив, и он существует. МЫ лишь в какой-то момент эти две модели сравниваем, и убеждаемся, что они разные, то есть они не могу совпадать, и тем самым приходим к выводу, что не может одновременно быть x=1 и x=2. Аналогичный "финт" можно и с евклидовым доказательством осуществить.

Грубо говоря, если я прихожу к несовместимости каких-то двух положений (скажем, "мяукает" и "охотится на глухаря"), то я поочерёдно представляю себе кошку и собаку, а потом выясняю для себя, что это разные звери. Отсюда, понятное дело, никак нельзя заключить, что в природе нет ни собак, ни кошек.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 19th, 2010 12:42 pm (UTC)

крив был Гнедич, но есть покой и воля. (0)

(Link)

Получается, что "зоология" есть, а "жЫвотных" -- нет! :)
И действительно. Ритуальный танец исполнили? Исполнили. На охоте тигра (хе-хе) убили? Убили. Так как же вы говорите, что духов охоты нет? Экзотика какая-то.

Заметьте, что архитекторы и кораблестроители вроде обходятся без веры в „идеальную хрущёвку“ и „абсолютный авианосец“.

невозможно себе представить, чтобы на него был получен ответ "нет", и наоборот.
Весьма возможно. См. ниже.

в Европе умеют доказывать факт X, а в Индии этого не умеют, зато могут доказать факт Y.
Повторю, что я не понимаю, как в данном случае определяется „образцовость“. С вавилонской точки зрения, образцом будет Европа или Индия и почему? Получается, что на множестве всех теорий, пополненных „идеальными теориями“, определена метрика?

Почему же [не такая уж и изменчивая]?
Мне просто показалось забавным, что вы отметили изменчивость доказуемого немедленно после указания на его неизменность (доказать, что 2x2=5 невозможно).

В точности так же, как Вы по отношению к доказательствам! Категория "интересности" -- "исторична", и у Вас так же обстоит дело с доказательствами.
Т.е. тут мы вернулись к тому, что „людям свойственно стремиться придать важность, а то и исключительность своему занятию“ — с чем мы вроде бы согласились.

Ведь применительно к математике это никак не зависит от того, победил на выборах Гор или Буш?
В такой постановке от этого не зависит и доказуемость.

Но в любом случае есть Пушкин, а есть граф Хвостов :)
Соглашусь, что математические объекты настолько же объективны, насколько объективно преимущество Дмитрия Ивановича перед Александром Сергеевичем (или наоборот).

Возможно, если бы он прослушал курс теории алгоритмов, то мог бы и оценить.
Во-первых, я не могу понять, чем это отличается от ситуации с множествами Витали, во-вторых, мне кажется, что здесь получилось нечто вроде „прочитавший и усвоивший учебник, знает результаты, изложенные в этом учебнике“. Как из этой тавтологии извлечь свидетельства в пользу неизменности математических объектов — непонятно.

Тут происходит некая подмена.
Давайте разберёмся. Если под „умением считать“ понимается навык символьных манипуляция (вроде деления уголком), то доказать, что результаты такого счёта будут совпадать с тем, что требуют формулы, конечно, можно. Если же, под умением считать понимается умение загибать пальцы, когда баран проходит через ворота, то именно вавилонская точка зрения приводит к трудностям.

[Окончание следует.]

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:September 19th, 2010 12:46 pm (UTC)

крив был Гнедич, но есть покой и воля. (1)

(Link)

[Окончание.]

Простой пример. Посчитано, допустим, что за промежуток между двумя закатами солнца 1 Стандартная Вавилонская Курица несёт 2 яйца. Определив, посредством счёта, что за отчётный период имело место 7 закатов, можно задать оракулу Мардука-ИИНР вопрос, сколько яиц снесла СВК. Ответ — 2х7=14, о чудо! — согласуется с результатами счёта, несомненно подтверждая благоговение божества к продовольственной программе Вавилона.

Но злобные клеветники спрашивают: что будет если к числу закатов прибавить количество яиц в день, и какая процедура счёта проверит результат? Ответ оракула, видимо, будет: вопрос неправильный (нарушена заповедь „Чти размерность“, или нечто в этом роде).

Т.е. кажущаяся универсальность ИИНР, „тот феномен, что ответы на осмысленные вопросы от нас в принципе не зависят“, возникает только потому, что круг разрешённых вопросов заранее ограничен теми вопросами, на которые ИИНР даёт правильные ответы.

С точки зрения грека, нет никакой unreasonable efficiency of mathematics — математика применяется там (и так), где (и как) она эффективна, а телега ставится позади лошади. Натуральные числа подходят, чтобы считать мешки с зерном, но не подходят для счёта капелек ртути и лиц в снах, а универсальная применимость арифметики имеет ту же природу, что и универсальная применимость уголовного кодекса. Кстати, некоторое время назад, мы с вами обсуждали трёхмерность пространства, конвенциональность коей вы так убедительно продемонстрировали. Нынешняя ситуация кажется мне похожей.

Будем рассматривать подмножества декартовой степени Z
Либо я неправильно понимаю смысл этого фрагмента, либо произошло недоразумение. В 19-м веке некоторые математики оспаривали правомерность использования „актуальной бесконечности“, например, множества всех целых чисел. Этот спор перпендикулярен нашему: и вавилонянин и грек могут занять в нём любую из позиций. Для вавилонянина это определяется верой в то, какие идеальные объекты существуют „на самом деле“, а для грека — решением то, какой формализм использовать. Грек может использовать формализм, в котором „существуют“ все описанные вами множества, однако это никак не влияет на их онтологический статус.

Дело в том, что я у Вас уловил момент "незаконного" проникновения на "вавилонскую" территорию
Я же уловил ровно обратное: вы определяете истинность через некую доказуемость.

Можно считать...
В этом-то я и вижу проблему: математики так не считают. Т.е., для подгонки наблюдаемой, реальной математики к вавилонской модели, приходится выдумать некую переходную „как-бы математику“.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:July 24th, 2013 11:51 pm (UTC)
(Link)
Почему классический натуральный ряд так важен?

потому что он натуральный - естественный и простейший по интуиции :)

при этом на нем все стоит

прелесть

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:July 25th, 2013 08:21 am (UTC)
(Link)
Классический натуральный ряд, как-раз далеко не натурален. Например, приведённые вами аксиомы, не определяют классический натуральный ряд. Помимо инициальной модели, тем же аксиомам удовлетворяют и нестандартные модели арифметики, счётные и несчётные. Более того, по теореме Лёвенгейма — Скулема, вообще не существует теории первого порядка, которая имеет моделью только классический натуральный ряд.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:July 25th, 2013 09:44 am (UTC)
(Link)
да, эти аксиомы задают еще ZF, а из нее можно получить кл.нат.ряд как ее подстуктуру:

0, 0', 0'',...

которая будет простейшей среди всех структур данной форм.теории.

вообще все структуры одной форм.теории попарно гомоморфны
и интересны те теории, среди моделей которой есть одна,
являющейся прототипом остальных ее моделей, каковые будут
расширениями прототипа - в данном случае натур.ряда

т.е. созерцается принцип происхождения структур

в разных потомках одно и то же расширительное утверждение
может иметь разную истинность, но истинность прототипических
утверждений во всех моделях будет одинакова



Edited at 2013-07-25 09:52 am (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alexey_rom
Date:August 15th, 2010 09:30 pm (UTC)

Re: апология классической модели арифметики

(Link)
Пеано разницы между логикой первого и высших порядков ещё не знал. Аксиома индукции в формулировке Пеано говорит о всех свойствах -- это аксиома второго порядка (увы, просмотра источника на Google Books у меня нет; я основываюсь на переводах). Какие есть причины принять первопорядковую схему аксиом индукции, не принимая второпорядковую аксиому?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:August 21st, 2010 05:10 pm (UTC)

реабилитация Интуиции

(Link)
Тут надо учитывать одну вещь: когда мы говорим "аксиомы Пеано" или "арифметика Пеано", то под этим стандартно понимается нечто "устаканившееся", названное в честь этого математика (примерно так же обстоит дело и с теоремой Пифагора). Ясно, что принцип математической индукции при этом получается "урезанный", то есть он относится только к арифметическим свойствам.

Что бы ни имел в виду сам Пеано в его работах, совершенно ясно, что с точки зрения разумных критериев принятия аксиом, принципов, постулатов etc, "полная" версия ПМИ, касающаяся всех мыслимых и немыслимых свойств чисел, ничуть не менее "разумна" нежели версия "урезанная". Я считаю, что Вы правильно сделали, поставив последний вопрос, хотя мне он кажется "риторическим". Тут можно сказать только одно: "урезание" произошло лишь по причине укладывания арифметики в "прокрустово ложе" (точнее, одно из), а последнее продиктовано было соображениями скорее чисто технического характера. Я же во всех случаях работы с числами, множествами и прочим, считаю "высшим уровнем" не формализмы, а Интуицию. Ведь все формальные теории, включая даже сами способы их рассмотрения (на уровне того, что можно всё "оформить" в логике первого порядка, а можно себя в этом не ограничивать) -- это всё делается уже после интуитивного осмысления сути. То же касается написания компьютерных программ и многого другого. А тезис о главенстве Интуиции предполагает наличие тех "объектов", которые мы при помощи интуиции и воспринимаем.

Я вообще вижу главной задачей "реабилитацию" Интуиции, потому что весь "сыр-бор" ведь разгорается вокруг этого. Всё остальное -- это "маскировка" или "дымовухи" :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:alexthunder
Date:August 14th, 2010 09:53 pm (UTC)
(Link)
Очень интересный взгляд.
Спасибо большущее!
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 14th, 2010 10:00 pm (UTC)
(Link)
Всегда рад.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:August 15th, 2010 11:10 am (UTC)
(Link)
надо сонет написать про то как

в начале были слово и истинна,
но не было слов, синтаксиса и доказательств
за их ненадобностью.

потом слова размножились, породив надобность
в доказательствах их истинности и синтаксисе,
и утопили истину в них.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 15th, 2010 11:28 am (UTC)
(Link)
Initio ratio erat.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:August 15th, 2010 01:57 pm (UTC)
(Link)
в начале был при-каз
из слова одного
и начался рас-с-каз
про это и про то

и у-казуют руки
на полную луну
где ползают науки
по илистому дну

а если кто до-кажет
что это есть не то
жестоко всех на-кажем
отправим в эрато
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 15th, 2010 10:18 pm (UTC)
(Link)
Я диких песен не люблю.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:August 15th, 2010 10:35 pm (UTC)
(Link)
это не песня.

краткое изложение онтологии неоплатонизма,
включая категорию числа как ее основы,
методом Хайдеггера.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ex_kosilova
Date:August 15th, 2010 05:25 pm (UTC)
(Link)
Пардон, я не математик, у меня глупый вопрос. Вот Вы пишете "Представление о первичности истинности по отношению к доказательству ..." - что имеется в виду? Доказательство ведь тоже может быть истинным и не истинным? Имеется в виду представление об истинности какого-то высказывания ?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 15th, 2010 05:55 pm (UTC)
(Link)
Слово "истина" тут нужно понимать как термин из математической логики. (Кстати, математики говорят про доказательство не "истинно" или "ложно", а "верно" или "ошибочно".)

Речь идёт вот о чём: есть т.н. "формальные теории", которые состоят из "языка" (способа строить формулы теории), "аксиом" и "правил вывода". Аксиомы и правила вывода определяют какие формулы считаются "доказуемыми", т.е. для каких формул есть цепочка, начинающаяся с аксиом, формируемая согласно правилам вывода и оканчивающаяся данной формулой. Все эти понятия и манипуляции исключительно _синтаксические_, т.е. сводящиеся с операциям над строками символов.

Для формальной теории можно построить _модель_ --- это множество объектов, которые в некотором техническом смысле "удовлетворяют" теории. Модели это "семантика" формальных теорий. Про высказывание говорят, что оно "истинно" (в некоторой модели!) если оно выполняется в этой модели, т.е. если объекты, из которых состоит модель действительно находятся в этом соотношении.

Теорема Гёделя о полноте устанавливает связь между синтаксическим понятием доказуемости и семантическим понятием истинности: для формальных теорий определённого класса, высказывание доказуемо если и только оно истинно во _всех_ моделях.

Вот пример: можно построить формальную теорию, соответствующую геометрии Евклида, без постулата о параллельных. У неё есть разные модели: одна "стандартная", где в качестве прямых, точек и плоскостей берутся обычные геометрические объекты, другая "нестандартная", например полуплоскость Пуанкаре. Все высказывания доказуемые из аксиом (за вычетом 5-го постулата) будут истинны во всех моделях, но сам постулат в нестандартной модели не выполняется.

То же самое верно и для аксиом Пеано натуральных чисел: имеются нестандартные модели этих аксиом (хотя их и сложнее описать, чем для геометрии) и высказывание истинно во всех моделях тогда и только тогда, когда оно доказуемо из аскиом.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ex_kosilova
Date:August 16th, 2010 04:56 am (UTC)
(Link)
Понятно. Совсем грубо говоря, силлогизм модуса Барбара верен, а также верны и любые содержательные предложения, соответствующие его схеме (Все люди смертны, греки люди, поэтому греки смертны; все деревья растения, липы деревья, поэтому липы растенийя; все кошки знают французский, все цыплята кошки, поэтому все выплята знают французский и так далее) - верно я понимаю? То есть если структура верная, то уж примеры точно будут истинны. Так?
Если да, то мне другое интересно. Как устанавливается истинность моделей, если мы говорим о ней отдельно от верности структуры? Каждый раз по-своему?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 16th, 2010 08:53 am (UTC)
(Link)
Да, только формальная система (я не говорю "структура", потому что в математической логике "структура" это по историческим причинам синоним "модели", теория моделей выросла из двух источников: математической логики и универсальной алгебры) основана не на силлогизмах, а на исчислении предикатов.

Что касается истинности моделей, то тут нужно понимать одну вещь: математическая логика существует в двух ипостасях, как обычный раздел математики, и как инструмент в "основаниях математики". В основаниях нужна некоторая осторожность, но в обычном применении всё достаточно просто: модели это те же самые математические объекты и их свойства изучаются стандартным математическим способом --- о них доказываются теоремы.

Например, чтобы убедиться, что полуплоскость Пуанкаре это модель геометрии, нужно доказать, что в ней выполняются аксиомы нашей формализации геометрии. Это обычные геометрические утверждения, которые можно доказать обычным more geometrico. Т.е. формальная система геометрии моделируется, в данном случае, в "объемлющей" "неформальной" геометрии.

Кстати, я не специалист. По поводу теоремы Гёделя о полноте лучше посмотреть это сообщение ув. falcao.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ex_kosilova
Date:August 16th, 2010 12:24 pm (UTC)
(Link)
Фалькао я читаю регулярно. В основном в последнее время там о тиграх и их сезонных миграциях :)
То, что Вы написали здесь, вроде бы я примерно знаю - не настолько, чтобы этим оперировать, конечно, но примерно. Меня очень заинтересовало Ваше утверждение в посте. Сейчас по-другому спрошу, если не возражаете. Вы говорите: вот есть семантическая истинность, а есть - разные верные синтаксические системы (может быть, я неправильно употребляю термины, ибо у вас там все сложно :)).
И Вы связываете утверждение: "математика - это созерцание эйдосов" с первой позицией, с той, которая считает первичной семантическую истинность. Верно я поняла? И вот тут я не понимаю, почему. Ведь и доказательство может быть верным. И доказательство - это тоже эйдос. И доказательство - это тоже математика. Как тут противопоставление происходит, вот что я не могу уловить.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 17th, 2010 09:30 am (UTC)
(Link)
Я не уверен, что правильно понял вопрос, поэтому дам два ответа.

Доказательство действительно можно считать эйдосом, идеальным объектом. Но даже самый радикальный платонист не считает, что он непосредственно контактирует с эйдосами — это привилегия чинов ангельских иерархий.

Платонисты считают, что познают свойства идеальных объектов используя неидеальные инструменты — доказательства. У такого неидеального доказательства есть, в свою очередь, идеальный прообраз — „идеальное доказательство“, но узнать что-либо про этот идеальный объект можно опять-таки только при помощи неидеальных инструментов: доказательств теорем в „теории доказательств“. При этом „истинность“ (т.е. верность) доказательства не обязательно тождественна истинности доказуемого: истинному высказыванию можно дать неверное доказательство.

Второй ответ такой: „вавилоняне“ (т.е. платонисты), считают, что „открывают“ истинные утверждения, находя им доказательства. Примерное так, как мореплаватели открывают новые земли, находя к ним путь. Америка существовала до и независимо от плавания к ней Колумба. Т.е. математические объекты автономны („эйдосы“). Отсюда вытекает понимание теоремы о неполноте, как утверждения о фундаментальной ущербности формальных теорий — эйдосы богаче любых формализмов, их описывающих.

Описанные мной „греки“ отрицают существование автономных математических объектов. Для них свойства математического объекта (и его сущность) исчерпываются совокупностью доказуемых утверждений об этом объекте. Их математика это комбинаторное искусство (составление слова „вечность“ из ледянных кубиков). С их точки зрения теорема о неполноте утверждает, что недоказуемое утверждение будет обязательно ложным в одной из моделей (при этом свойства модели устанавливаются доказыванием утверждений в мета-теории).

(Reply) (Parent) (Thread)
From:ex_kosilova
Date:August 17th, 2010 10:07 am (UTC)
(Link)
Все очень понятно. Огромное спасибо!
Таки Вы себя относите к грекам? :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 17th, 2010 10:30 am (UTC)
(Link)
Да, мы из histriorum graecorum. :-)
(Reply) (Parent) (Thread)
From:ex_kosilova
Date:August 16th, 2010 05:01 am (UTC)
(Link)
Блин, забыла начать-то. Спасибо огромное за такой развернутый ответ! Не часто специалисты так любезны с дилетантами.
(Reply) (Parent) (Thread)
From:(Anonymous)
Date:October 27th, 2011 02:59 am (UTC)

Спасибо за информацию

(Link)
Увлекательно спс Вам! Об таком я прочитала, а на том блоге как-то иначе было написано...
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:livejournal
Date:July 25th, 2013 12:05 am (UTC)

Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебр

(Link)
User az118 referenced to your post from Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры? saying: [...] Оригинал взят у в Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры? [...]
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:livejournal
Date:July 25th, 2013 11:07 am (UTC)

генеалогия структур

(Link)
User az118 referenced to your post from генеалогия структур saying: [...] да, эти аксиомы задают еще ZF [...]
(Reply) (Thread)