The chronicler of 452 (furia_krucha) wrote,

Когда категории были множествами.


Продолжаем рассказы про Анн и Эмм ([0], [1], [2], [3]).


В обычном изложении истории математики начала 20-го века, становление современной абстрактной алгебры выглядит как длительное и постепенное индуктивное обобщение и слияние. Кульминацией этого процесса является репертуар стандартных алгебраических структур, понимаемых как множества с операциями, сформировавшийся в работах Эммы Нётер („В полной тишине происходило сползание юбки, а фрейлейн Нётер героически продолжала читать лекцию. Лекции фрейлейн Нётер существенно отразились на моём математическом мировоззрении“ —Понтрягин). Параллельно с „демонами“ (In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain —Г. Вейль), начали свою работу и ангелы, якобы возводя здание общей топологии как расширение и обобщение анализа.

В получающейся картине, алгебра и общая топология строились „работающими математиками“ отдельно, но так ли это? Всегда ли Океания воевала с Остазией?

Чтобы выяснить это, нам придётся, как говорят современные журналисты, отправиться в городок Blaricum, недалеко от Амстердама.

Там жил Брауэр и в середине двадцатых там побывали все знаменитые „аггелы“: Александров, Вьеторис, Гуревич, Улам, Урысон и Хопф. В то же время в Бларикюм приехала и Аннабель... т.е. фроляйн Нётер, которая в это время разрабатывала то, что в скудной литературе по данному предмету крайне неудачно называется „теоретико-множественной алгеброй“ (set-theoretic algebra). Речь идёт о описании алгебраических структур не как множеств с операциями над элементами, а исходя из того, что мы назвали бы сегодня решётками под-алгебр и фактор-алгебр и разложением по классам смежности, как исходных понятий. Известные теоремы Нетёр о изоморфизмах составляли часть этой теории, изложенной более-менее систематически в нескольких её работах, начиная с Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern. Подчёркивание роли гомоморфизмов и явное желание освободить алгебру от рассмотрения отдельных элементов и операций (verknupfungen) конечно напоминает более позднее развитие теории категорий. Интереснее однако, посмотреть, какое влияние Нётер оказала на слушавших её топологов:
... влияние Эмми Нетер и на мои, и на другие московские топологические исследования было очень велико и затрагивало самую суть нашей работы. В частности, в значительной степени под влиянием бесед с нею в декабре—январе 1925—1926 гг., когда мы вместе были в Голландии, возникла моя теория непрерывных разбиений топологических пространств.

Оказывается фактор-пространства были не „открыты“, а построены как сознательный аналог алгебраического понятия фактор-группы. Рассмотрение именно морфизмов, между объектами, а не индивидуальных объектов также имело очевидные топологические применения:
„Когда она впервые познакомилась на наших лекциях с систематическим построением комбинаторной топологии, она сейчас же заметила, что целесообразно рассматривать непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов данного полиедра, а в группе циклов — подгруппу циклов, гомологичных нулю; вместо обычного определения чисел Бетти и коэфициентов кручения она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную группу (фактор-группу) группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Это замечание кажется теперь само собою разумеющимся. Но в те годы (1925—1928) это была совершенно новая точка зрения.“ (Loc. cit., орфография оригинала)

(Существует обширный фольклор о том кто первым „открыл“ группы гомологий, например, известная полемика Дьедонне и Маклейна по этому поводу. Не подлежит сомнению, однако, что именно Нётер первой в явном виде определила их именно как алгебраические объекты (называя их при этом, впрочем, bettise), хотя вся слава и досталась Вьеторису).

А что же дальше? А ничего. Европа развалилась. Нётер была изгнана из Гёттингена и бежала за океан, чтобы умереть от загадочного послеоперационного осложнения в североамериканской глуши. Урысон утонул. „Пусик“ потерял свою магическую способность проникать сквозь железный занавес и исчез, так и не доказав аналог теоремы о изоморфизмах для топологических пространств. Гуревич погиб, упав с вершины ритуальной пирамиды майя в Ушмале. Последний — Брауэр, мучимый остаток жизни паранойей, был сбит автобусом. Алгебра осталась при множествах и элементах, до тех пор пока уже другое поколение не вытащило её, придумав абелевы категории. Опять.
  • Post a new comment

    Error

    default userpic
  • 11 comments