The chronicler of 452 - Когда категории были множествами.

Aug. 21st, 2010

09:46 pm - Когда категории были множествами.

Previous Entry Add to Memories Share Next Entry


Продолжаем рассказы про Анн и Эмм ([0], [1], [2], [3]).


В обычном изложении истории математики начала 20-го века, становление современной абстрактной алгебры выглядит как длительное и постепенное индуктивное обобщение и слияние. Кульминацией этого процесса является репертуар стандартных алгебраических структур, понимаемых как множества с операциями, сформировавшийся в работах Эммы Нётер („В полной тишине происходило сползание юбки, а фрейлейн Нётер героически продолжала читать лекцию. Лекции фрейлейн Нётер существенно отразились на моём математическом мировоззрении“ —Понтрягин). Параллельно с „демонами“ (In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain —Г. Вейль), начали свою работу и ангелы, якобы возводя здание общей топологии как расширение и обобщение анализа.

В получающейся картине, алгебра и общая топология строились „работающими математиками“ отдельно, но так ли это? Всегда ли Океания воевала с Остазией?

Чтобы выяснить это, нам придётся, как говорят современные журналисты, отправиться в городок Blaricum, недалеко от Амстердама.

Там жил Брауэр и в середине двадцатых там побывали все знаменитые „аггелы“: Александров, Вьеторис, Гуревич, Улам, Урысон и Хопф. В то же время в Бларикюм приехала и Аннабель... т.е. фроляйн Нётер, которая в это время разрабатывала то, что в скудной литературе по данному предмету крайне неудачно называется „теоретико-множественной алгеброй“ (set-theoretic algebra). Речь идёт о описании алгебраических структур не как множеств с операциями над элементами, а исходя из того, что мы назвали бы сегодня решётками под-алгебр и фактор-алгебр и разложением по классам смежности, как исходных понятий. Известные теоремы Нетёр о изоморфизмах составляли часть этой теории, изложенной более-менее систематически в нескольких её работах, начиная с Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkorpern. Подчёркивание роли гомоморфизмов и явное желание освободить алгебру от рассмотрения отдельных элементов и операций (verknupfungen) конечно напоминает более позднее развитие теории категорий. Интереснее однако, посмотреть, какое влияние Нётер оказала на слушавших её топологов:
... влияние Эмми Нетер и на мои, и на другие московские топологические исследования было очень велико и затрагивало самую суть нашей работы. В частности, в значительной степени под влиянием бесед с нею в декабре—январе 1925—1926 гг., когда мы вместе были в Голландии, возникла моя теория непрерывных разбиений топологических пространств.

Оказывается фактор-пространства были не „открыты“, а построены как сознательный аналог алгебраического понятия фактор-группы. Рассмотрение именно морфизмов, между объектами, а не индивидуальных объектов также имело очевидные топологические применения:
„Когда она впервые познакомилась на наших лекциях с систематическим построением комбинаторной топологии, она сейчас же заметила, что целесообразно рассматривать непосредственно группы алгебраических комплексов и циклов данного полиедра, а в группе циклов — подгруппу циклов, гомологичных нулю; вместо обычного определения чисел Бетти и коэфициентов кручения она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную группу (фактор-группу) группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Это замечание кажется теперь само собою разумеющимся. Но в те годы (1925—1928) это была совершенно новая точка зрения.“ (Loc. cit., орфография оригинала)

(Существует обширный фольклор о том кто первым „открыл“ группы гомологий, например, известная полемика Дьедонне и Маклейна по этому поводу. Не подлежит сомнению, однако, что именно Нётер первой в явном виде определила их именно как алгебраические объекты (называя их при этом, впрочем, bettise), хотя вся слава и досталась Вьеторису).

А что же дальше? А ничего. Европа развалилась. Нётер была изгнана из Гёттингена и бежала за океан, чтобы умереть от загадочного послеоперационного осложнения в североамериканской глуши. Урысон утонул. „Пусик“ потерял свою магическую способность проникать сквозь железный занавес и исчез, так и не доказав аналог теоремы о изоморфизмах для топологических пространств. Гуревич погиб, упав с вершины ритуальной пирамиды майя в Ушмале. Последний — Брауэр, мучимый остаток жизни паранойей, был сбит автобусом. Алгебра осталась при множествах и элементах, до тех пор пока уже другое поколение не вытащило её, придумав абелевы категории. Опять.

(11 comments | Leave a comment)

Comments:

[User Picture]
From:alexthunder
Date:August 21st, 2010 11:37 pm (UTC)
(Link)
Занимательно. Спасибо!

Такое впечатление складывается что некая мистическая природа сути вещей сопротивляется тому чтобы определённые прогрессивые шаги были сделаны преждевременно. Как только кто-то подбирается к этому шагу вплотную - обстоятельства тут же складываются неблагоприятно или вовсе трагично.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:sowa
Date:August 22nd, 2010 12:08 am (UTC)
(Link)
"On April 9, 2002, shortly before his 111th birthday, Leopold Vietoris died in a sanitarium at Innsbruck after a brief illness."

-http://www.ams.org/notices/200210/fea-vietoris.pdf

Урысон утонул за несколько лет до формального определения групп гомологий.

Etc.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 22nd, 2010 07:47 am (UTC)
(Link)
Некоторое время назад, вы, в ныне уничтоженной части своего журнала, выразили желание более со мной не общаться, поэтому мне не совсем понятно, как следует реагировать на ваш комментарий. На всякий случай разъясню: если вы считаете, что это был односторонний запрет, то вы ошибаетесь. Если вы считаете, что это некоторого рода епитимья, которую вы вольны наложить и снять, то вы ошибаетесь. Etc. В любом случае, надеюсь что более эта тема возникать не будет и без использования того, что вы называете „техническими настройками“.

PS: автобусом был сбит Брауэр (исправлено). Смысл связывания общеизвестной даты смерти Урысона с определением гомологий мне непонятен, я про это ничего не говорил, по-крайней мере.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sowa
Date:August 22nd, 2010 08:22 am (UTC)
(Link)
Да? Я помню, что была некая размолвка, но не помню ее предмета или деталей. Но раз Вы говорите, то, наверное, так оно и было.

Во-всяком случае, мой коммент имеет характер public service, указания на не очень хорошо известные факты, противоречащие Вашему тексту. Замена Виеториса на Урысона в последнем абзаца несколько улучшает дело, но текст остается misleading: он создает впечатление, что после 1928-го года Брауэр только и делал, что мучился паранойей (не говоря уже о такой мелочи, что это был не автобус), что алгебра нуждалась в "вытаскивании" абелевыми категориями, что абелевы категории появились после смерти Брауэра, etc.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 22nd, 2010 08:46 am (UTC)
(Link)
Мне странно объяснять такие вещи взрослому человеку, но за некоторые поступки нужно нести ответственность. Отказав мне в праве общаться с вами, вы потеряли право общаться со мной и оно не восстанавливается ссылками на забывчивость и „служение обществу“. В частности, если ваша интерпретация моего текста противоречива, то вам придётся перенести невозможность обсуждения её со мной. (Боюсь приходится упомянуть, что возможность обсуждения её за глаза остаётся на ваше усмотрение.)

Пользуясь вашей терминологией, у вас осталось 0 комментариев. Надеюсь вы не станете первым пользователем, лишённым возможности комментировать в этом журнале.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sowa
Date:August 22nd, 2010 08:52 am (UTC)
(Link)
Воля Ваша. Всего хорошего.

P.S. У меня нет никакой интерпретации Вашего текста, не противоречивой, ни непротиворечивой. Уж слишком много в нем неверных утверждений, чем он и привлек мое внимание.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:ivan_gandhi
Date:August 22nd, 2010 12:44 am (UTC)
(Link)
Ну вот. А как же тогда получается что Понтрягин на дух не переносил категории?!
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 22nd, 2010 09:50 pm (UTC)
(Link)
Лев Семёнович, судя по его мемуарам, вообще был человек увлекающийся. Сегодня переносил, завтра не переносил.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:vdkrav
Date:March 19th, 2012 09:57 pm (UTC)
(Link)
Опять же согласно его мемуарам он был практически слепым, т.е. еле отличал свет от тьмы. Откуда же это сокровенное знание о сползающей юбке?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:March 20th, 2012 06:43 pm (UTC)
(Link)
Там же написано: „В полной тишине происходило сползание юбки...“, видимо со слухом все было в порядке, плюс глубокая интуиция.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:az118
Date:August 22nd, 2010 04:26 am (UTC)
(Link)
элементы что пыль -
их за дверь, а они в окно.

согласно теореме Пуанкаре-Ницше о вечном возвращении.

и следствиям в форме теорем Нётер о симметриях.

он обещал вернуться (с) Фрекен Бок.

благодарю за пост.

одна идея пришла.
(Reply) (Thread)