The chronicler of 452 - „Но они не имеют к анализу никакого отношения.“

Oct. 8th, 2011

03:01 am - „Но они не имеют к анализу никакого отношения.“

Previous Entry Add to Memories Share Next Entry


Так отзывается в „Основах современного анализаДьедонне о построениях в „Основах анализаЛандау, которые меня (и, наверное, не только) удивляли тем, что там сначала определяются натуральные числа, потом их отношения, потом Дедекиндовы сечения отношений, и только потом вводятся отрицательные числа (в обратном порядке). В стандартных изложениях, за натуральными числами следуют целые, и все последующие классы уже идут со знаком. Совсем недавно я обнаружил объяснение в весьма неожиданном источнике:



(On Numbers and Games, Conway, pp. 25--27).


Будет только справедливо, если очередные „Основы анализа“, написанные лет через 30--40 и построенные на какой-нибудь „синтетической дифференциальной геометрии“ объявят все эти метрики, пределы и нормы, которые с таким тщанием возводит Дьедонне „не относящимися к анализу“.

(33 comments | Leave a comment)

Comments:

[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 8th, 2011 06:52 am (UTC)

"– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Действительно, метрика не очень похожа на фундаментальное понятие, скорее должна определяться через что-то более основательное. Синтетическая геометрия, кстати, до определения метрики не до(тягивает)ходит; и выглядит скорее как использование "темы" из теоремы Гельфанда-Неймарка, когда пространство заменяется на махсимальные идеалы алгебры функций.
Есть еще определение метрики (в некоммутативной геометрии) Конна через оператор Дирака - не совсем удачное на мой взгляд.
Мне очень нравится статья Картье (Cartier - A mad day's work: from Grothendieck to Connes... Bull AMS 38:4 (2001) 389-408.) о том, что такое пространство, но там тоже метрика еще не определяется. Но можно надеяться, что лет через 30 ...
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 09:36 am (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Спасибо за ссылку. В Numdam есть статьи о альтернативных основаниях анализа (P. Michor, A convenient setting for differential geometry and global analysis. и пр.), наверное потому, что Ehresmann сам этим увлекался.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 10th, 2011 08:05 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Спасибо! Никак не получалось дочитать Михора (Моердика, ет алл) хотя бы до середины. Знаете, как рэквием Моцарта: после определенного момента неизбежно отвлекаюсь ... так и не знаю, чем там заканчивается. А вот еще одна статья Картье, если не видели думаю будет интересно (про висящую в воздухе (Манин) конструкцию интегралов Фейнмана, суммирование бесконечностей)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SLC/wpapers/s44cartier1.pdf
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 10th, 2011 08:22 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Забавное совпадание. Я, начав читать Картье по вашей предыдущей ссылке, тотчас вспомнил, что статью эту уже читал, но бросил, дойдя до "меньшевистской революции февраля 1917, за которой последовала большевистская революция октября 1917" (это про биографию отца Г.). Понятно, что предмет достаточно экзотической для западного человека, но тут он вроде берётся восстанавливать исторический контекст, оказавший влияние на Гротендика, а рассказывает арабские сказки. В этот раз, наверное, дочитаю.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 10th, 2011 08:28 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
А, а я эту статью начал читать, пропустив начало! (историю Гротендиков я читал до этого где-то еще.)
Интересное там начинается в 3 или даже 4 параграфе, история кончается и начинается история математики.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 8th, 2011 08:00 am (UTC)

не абстрактные абстракции

(Link)
А что Вам не нравится в этом подходе, и что можно было бы предложить взамен? Вы считаете, что законы типа дистрибутивного вообще не надо доказывать, или хотите разбирать "64 случаев"?

Лично мне все эти конструкции всегда очень нравились. А в конце там там или иначе получался "стандартный" вид числа (типа n, 0, или -n). То есть "ущерба" ровно никакого.

Да, и я обычно когда читаю курсы на эту тему, то R строю при помощи последовательностей Коши. Сечения Дедекинда мне всегда казались более искусственными. Их преимущество только в том, что они быстрее позволяют охарактеризовать новые объекты, то есть вещественные числа. Но это вообще-то примерно то же явление, как и числами типа -n.

И ещё хочу особо отметить, что "абстрактную" математику я не люблю, но здесь возникает совсем другое явление.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 09:52 am (UTC)

Re: не абстрактные абстракции

(Link)
Мне тут „всё“ нравится, кроме чересчур категоричного утверждения Дьедонне. Просто раньше я, видимо из-за недостаточного опыта преподавания, не понимал почему Ландау идёт нестандартным путем. Мне, лично, более естественным кажется использование сечений (например, действительное число определяется как счётное множество рациональных, а не как счётный класс эквивалентности счётных последовательностей). Кстати (возможно вы знаете), есть элементарный способ построения действительных чисел прямо из целых, минуя рациональные — через классы эквивалентности функций Z -> Z (http://arxiv.org/abs/math/0301015).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 10:20 am (UTC)

R from Z

(Link)
Какое именно утверждение Вы сочли "слишком категоричным"?

Как я уже сказал, дедекиндовы сечения "лучше" только тем, что сам "новый" объект проще характеризуется в терминах "старого". Но это примерно как -n, на что я уже указывал. Однако даже тут есть разница, потому что -n является "стандартной" формой записи отрицательного числа, и мы именно так его себе представляем в процессе "работы".

А вот множество всех рациональных r, не превосходящих данного x -- это вещь уже явно "искусственная", придуманная с целью "однозначности" и простоты задания. При этом всегда доставляет некоторый "дискомфорт" произвол в выборе "правого" и "левого", а также строгих или нестрогих неравенств.

По-моему, последовательности Коши точнее отражают сам реальный процесс возникновения одних и тех же действительных чисел как пределов разных последовательностей. (Скажем, типа того, как число e задаётся.) А Дедекинд, по сути дела, ввёл "каноническую форму", что тоже представляет ценность, но я бы это давал уже как "теорему" -- после построения соответствующего факторкольца и проверки всех свойств. То же самое со "стягивающимися отрезками" и прочим.

"Канонизация", кстати, далеко не всегда полезна: скажем, есть учебники, где за основу берутся десятичные дроби! Но это, мне кажется, "приключение себе на голову".

Что касается построения R через Z, то по крайней мере одна конструкция мне известна -- это т.н. "асимптотические конусы" Громова. Достоинство в том, что R сразу возникает в результате применения довольно общей конструкции. Недостаток в том, что используются ультрафильтры.

Идея там в том, что вводится последовательность метрик на Z. Расстояние между "соседями" полагается равным сначала 1, потом 1/2, потом 1/4 и так далее. Далее при помощи ультрафильтров задаётся некая "предельная" конструкция (в принципе, нетрудно догадаться, какая именно), и возникает метрическое пространство R.

Я пока не смотрел текст статьи по ссылке, но сейчас сравню, эта ли идея там рассматривается.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 11:26 am (UTC)

Re: R from Z

(Link)
В моём исходном сообщении есть только одно утверждение Дьедонне: о том, что построение действительных чисел не относится к анализу, оно вынесено в заголовок. Сам Дьедонне вводит действительные числа синтетически и, разумеется, не утруждает себя третьестепенными вопросами построения модели и доказательства непротиворечивости и категоричности.

По-моему, последовательности Коши точнее отражают сам реальный процесс возникновения одних и тех же действительных чисел как пределов разных последовательностей.
Как настоящий вавилонянин вы верите не только в то, что действительные числа „реальны“, но и что возникают они одним единственным вполне определённым способом. :-) Для меня, лучшим кажется дать несколько определений. Доказательство их эквивалентности — хорошее упражнение. Ещё один недостаток определения через последовательности Коши в том, что придётся определять фундаментальные последовательности отдельно для рациональных чисел, а потом ещё раз для метрических пространств (или играть в тёмные игры, когда определяется метрика на пространстве X со значениями в упорядоченном поле Y, а метрика на пополнении X определна со значениями в пополнении Y).

По поводу Лысенко-Мардука, а не совсем понял. Как выписывание или опускание чего либо в записи связано с онтологическим статусом опускаемого? Скажем, если я освоил сложение столбиком настолько, что не ставлю точку для обозначение переноса, значит ли это, что я перестал верить в существование переноса?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 12:03 pm (UTC)

путешествие в эмпиреи

(Link)
Признаться, я даже не обратил внимания на заголовок, то есть это прошло как бы "мимо" моего сознания. Я не знал, какой именно аспект для Вас здесь важен в первую очередь, а из "контекста" это не следовало.

Введение системы действительных чисел аксиоматически, без доказательства существования, я вообще-то считаю "безобразием". Единственность, кстати говоря, мне казалось, что обычно доказывают. Особенно если это можно сделать "категорно": такие вещи "абстракционисты" очень любят!

Я, конечно, верю в "реальность" real numbers, но представление о том, что они "на самом деле" суть классы эквивалентности последовательностей Коши, мне не свойственно. Это только наилучший с моей точки зрения методический способ их ввести, и не более того. Ведь сами по себе они суть "идея", то есть "материализовать" их в полной мере нельзя. Вопрос может ставиться только о наилучших средствах "доступа" к "идее".

Тот недостаток, о котором Вы говорите, имеет место, то есть какие-то одни и те же вещи приходится доказывать дважды, или же вводить "абстрактный аппарат". Я выход из положения вижу в том, чтобы повторно сформулировать свойства, но про доказательство сказать, что оно "аналогично". Идея-то там та же, а я делаю "упор" именно на "идеях"! :)

Пример с Лысенко касался "нелегального" использования каких-то "отрицаемых" понятий. Я его "проецировал" на "греков", которые в процессе работы над "доказательствами" то и дело уносятся сознанием в "несуществующие" для них "эмпиреи". Аналогия тут, на мой взгляд, практически полная. Пример с тем, как в обсуждаемой статье мелькнул "призрак" рациональных чисел на уровне "идейного содержания", меня всего лишь "навёл" на эту мысль. А само по себе это сравнение -- довольно старое.

Ваше замечание говорит о том, что для Вас нет разницы между использованием какой-то "идеи" (например, идеи переноса разрядов) и "отчётом" об этом (в виде "точечек"). Это само по себе довольно характерно: ведь "идеи" для Вас "нет", а потому всё как бы сводится к "отчётным" формам! :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 01:27 pm (UTC)

Re: путешествие в эмпиреи

(Link)
Введение системы действительных чисел аксиоматически, без доказательства существования, я вообще-то считаю "безобразием".
„Благообразным“ остаться всё-равно не удастся: какие-то основные вещи, вроде множеств, придётся вводить синтетически.

Я выход из положения вижу в том, чтобы повторно сформулировать свойства, но про доказательство сказать, что оно "аналогично".
Вот это-то и есть настоящее „безобразие“. :-) Если ситуация аналогична, но выразить эту аналогию не удаётся, то система изложения и обозначение явно неадекватна и её нужно исправлять. Мне кажется история математики ясно демонстрирует пользу точных и единообразных описаний.

Ваше замечание говорит о том, что для Вас нет разницы между использованием какой-то "идеи" (например, идеи переноса разрядов) и "отчётом" об этом (в виде "точечек").
Я ввобще-то имел в виду ровно обратное: даже если я перенос не обозначаю, с ним ничего не случается. Т.е. ответ на мой риторический вопрос: „значит ли это, что я перестал верить в существование переноса?“ —подразумевался отрицательным. Вашу аналогию я до сих пор не понимаю. Как „греки“ уносятся в эмпиреи?

По-моему наше предыдущее обсуждение показало, что это именно вавилоняне склонны к постройке потёмкинских деревень, и, приступая к доказательству от противного, произносят ритуальное заклинание-оберег: „вступая в богомерзкую теорию чуждую вечным эйдосам, клянусь, перед лицом моих коллег и анонимных референтов, думать, что эйдосы всё-же существуют, и пусть покарает меня Мардук и лишит счастья созерцать Истинный Натуральный Ряд, если я отступлю от своей клятвы.“
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 06:33 pm (UTC)

обращение к смыслу (1)

(Link)
В прошлый раз не стал на это обращать внимания, но меня смутило одно Ваше выражение. Почему Вы говорите "синтетически" в тех случаях, где я бы сказал "аксиоматически"? То есть какая мысль или какой образ за этим стоит? Где тут "синтетега", то есть что "синтезируется"? Это совсем не "придирка", а просто просьба пояснить, как Вы видите сам этот процесс. Со мной всё проще: есть "идея" множеств, как-то нами осознаваемая. Мы потом её "формализуем" пр помощи описаний, "аксиом" или чего-то ещё. В принципе, это делается не вполне корректно ("наивная" ТМ), или не в самой удачной форме (ZF), но как-то делается, и ладно.

Замечание Ваше я считаю неудачным по смыслу, потому что существование неопределяемых понятий или недоказываемых утверждений вовсе не означает, что ничего не надо определять или доказывать. Существование полного архимедова упорядоченного поля -- это красивый, но неочевидный факт. Непонятно, с какой стати считается, что доказывать его не надо.

Я в принципе могу понять то, что в геометрии мы нечто принимаем за аксиомы, хотя это всё можно доказать в "координатной" модели геометрии. Но здесь уже возникают вопросы скорее "эстетического" характера. У нас уже есть какая-то "интуиция" по поводу точек, прямых и плоскостей. И вот мы в этих терминах начинаем работать. Тут как бы всё "привычно". А список аксиом для системы вещественных чисел -- довольно длинный. "Истинность" этих положений можно в принципе "проверить" интуитивно на примере "континуума", который как бы "известен" из школы. Но ведь в школе основы анализа не рассматриваются "не от хорошей жизни". Книга Дьёдонне не является учебником для ПТУ, и там доказать нужный факт было бы уместно вполне.

По поводу второго абзаца: я замечал за Вами склонность к воспроизведению длинных "рутинных" рассуждений. Мне такое всегда было неинтересно. Эти вещи я легко "генерирую", и поэтому сами "листинги" не ценю. Да, нужно уметь "разворачивать" эти доказательства как можно более "свободно", но "тексты программ", на мой взгляд, не имеют никакой ценности. Это примерно как если бы вместо числа 1000000 меня бы заставили пронаблюдать миллион "палочек", аккуратно их пересчитав. А то вдруг их окажется на "штуку" меньше или больше? По-моему, это "злоупотребление" на тему того, что "человеку свойственно ошибаться".

Вот возьмите в качестве примера что-то вроде "дистрибутивного закона" для множеств. Неужели Вам по душе такие "кирпичи", где подробно расписывается "рутинное" словесно-формульное доказательство? Мне кажется, ценность представляет только сам способ, которым надо владеть. А далее всё сводится к выписыванию миллиона палочек по десятичной записи числа "миллион", что я считаю лишним.

Если я уже доказал факт типа "всякая фундаментальная последовательность ограничена", имея в виду рациональные числа, то зачем мне повторять заново те же рассуждения для действительных чисел? Там ведь ровно тот же "механизм"! На худой конец, можно сослаться на "свойства модуля", которые для R такие же точно. И вообще, я против того, чтобы "плодить скуку". Всё должно быть легко и весело, если вести себя нравственно :)

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 06:34 pm (UTC)

обращение к смыслу (2)

(Link)
По поводу "унесения" -- я думал, Вы знаете, над чем я тут иронизирую. Но если это не так, придётся разъяснить на примере. Вот, допустим, пишете Вы программу, или оставляете какую-то формулу исчисления предикатов, призванную "выразить" определённое содержательное свойство. Можно рассмотреть, скажем, предложение Con(S), выражающее непротиворечивость формальной арифметики. Не знаю, как бы поступили Вы, но я бы обратился к содержательному смыслу, и уже идя от него, я бы выписал на бумаге некую последовательность "значков". И если кто-то увидит эту последовательность, то он сразу смысла этой формулы не поймёт. Однако, если он проследит все шаги построения, то признает, что да, эта формула выражает именно факт непротиворечивости PA, а не, скажем, факт бесконечности множества простых чисел.

Так вот, я считаю, что этот процесс "обращения к смыслу" в любом случае происходит, когда мы работаем. И у "грека", и у "вавилонянина" всё будет происходить примерно одинаково. Только второй честно признает, что вот он в какой-то момент "унёсся в эмпиреи", а первый ничего не может сказать. Потому что он даже мысль выразить не сможет как следует: для него ведь "смысл" как таковой отсутствует, а признаётся только "формализация" этого смысла. Которую он выражает при помощи указания на уже выписанную кем-то формулу. Что такое "непротиворечивость PA", могут спросить его? И он, будучи "верным" своей "идеологии", покажет на формулу Con(S). Вот, дескать, "кушайте". Непонятно, но зато "строго" и "однозначно". "Точное и единообразное описание".

"Мошенничество", как и в случае с "Рядно", тут мне видится в том, что для выписывания самой формулы требуется нечто, что как бы "не признаётся". А если бы "моск" уважаемого "грека" подключили к какому-то прибору, то оказалось бы, что в какой-то момент он читает труды генетиков обращается к "идеальным сущностям". Вы можете возразить, что это так только со стороны "вавилонянина", и это будет верно. Но ведь ЧТО-ТО в этот момент выписывания формулы "грек" делает? Назовите тогда, что именно, и я после этого соглашусь, что таким вот странным образом "грек" именует то, что я называю "коннектом" с "идеальным".

Вы как-то сравнили это с "заклинанием шамана" перед охотой. Типа, "духов" он заклинает, "хе-хе". Вы, видимо, полагаете, что и без такого "ритуала" охота оказалась бы столь же успешной. Возможно. Но попробуйте тогда обойтись в размышлениях без "нелегальщины", без "обращения к смыслу"? Боюсь, что сложную формулу Вы при этом не сможете выписать.

Последний абзац комментировать не буду, хотя такой стиль мне, безусловно, нравится :) Выглядит красиво, но я в том же обсуждении говорил, что "рассуждение от противного" представляет собой одновременное "созерцание" двух или нескольких "эйдосов", с последующим выводом о том, что они разные. Это просто стандартная форма рассуждения велит поступать определённым способом, а по сути рассуждение имеет простой вид: кошка (изучили её "эйдос" с "мяу-мяу") -- это не собака (запомнили предыдущее впечатление, сменили объект внимания, изучили другой "эйдос" с "гав-гав"). Вот и всё, и безо всякого "Мордухая" обошлись! :)

Edited at 2011-10-09 06:34 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 10th, 2011 09:04 am (UTC)

Re: обращение к смыслу (2)

(Link)
Почему Вы говорите "синтетически" в тех случаях, где я бы сказал "аксиоматически"?
Прошу прощения, я думал это известный термин. „Синтетическим“ называется подход в котором описание ведется непосредственно в терминах предметной области. Он противопоставляется „аналитическому“ подходу, где предметная область конструируется в терминах чего-то другого. Например, евклидово изложение геометрии — синтетическое, а координатный метод — аналитический. Термины „синтетический“ и „аналитический“, насколько я понимаю, восходят к классификации суждений Канта (тут, конечно, добавляет путаницы ещё и их использование в лингвистике). И синтетическое и аналитические изложения могут быть или не быть аксиоматическими.

Книга Дьёдонне не является учебником для ПТУ, и там доказать нужный факт было бы уместно вполне.
Прежде всего, хочу уточнить, что тут я пытаюсь встать на точку зрения Дьедонне, которой сам не придерживаюсь (как я уже писал, я нахожу его утверждение чересчур категоричным). Насколько я понимаю, Дьедонне, считает, что обоснования анализа путём его редукции к другим структурам (натуральным числам, множествам и т.п.) представляют только исторический интерес, как он говорит: „они очень помогли прояснению классического (и несколько туманного) понятия континуума“ — к собственно анализу, которому посвящена книга, они отношения не имеют. Исторически он прав — именно аналисты выдумали множества, метрики, многообразия, топологию и т.п., чтобы описать изначальные интуитивные аналитические понятия, которые не менее фундаментальны, чем множества.

Неужели Вам по душе такие "кирпичи", где подробно расписывается "рутинное" словесно-формульное доказательство? ... Если я уже доказал факт типа "всякая фундаментальная последовательность ограничена", имея в виду рациональные числа, то зачем мне повторять заново те же рассуждения для действительных чисел? Там ведь ровно тот же "механизм"!
Во-первых, я говорил о предпочтительности использования сечений как-раз потому, что они позволяют избегать повторений. Т.е. вы мою позицию поняли ровно наоборот: я считаю, что структура изложения должна быть выбрана так, чтобы никаких повторений и рассуждений по аналогии не было.

Во-вторых, я считаю важным показывать _почему_ ситуации аналогичны. В данном случае, рассуждения „те же“, потому, что действительные и рациональные числа наделены метрикой. Выделив это общее, и дав одно доказательство для метрических пространств, мы устанвливаем результат для большого класса объектов. Мне казалось, что это важный момент математического метода, ведущий к экономии изложения без потери строгости. Вы же, предлагаете следовать вавилонскому (буквально!) — написать папирус с решением нескольких квадратных уравнений, а дальше, когда „идея“ усвоена, предлагать решать по аналогии, без выведения общей формулы.

Что каксается, „обращения к смыслу“, то, я боюсь, у вас получилось то, что называется strawman argument. Греческий метод не подразумевает манипуляций неинтерпретируемыми формулами, и не отрицает, что они наделены смыслом. Он отрицает, что смысл _автономен_. Разумеется у меня имеется некое не вполне формализованное представление о том, что такое натуральный ряд. Я, однако, отдаю себе отчёт, что это представление сложилось как сумма всевозможными способами доказанных утверждений о натуральных числах и не придаю ему статуса вселенского закона.

Вот и всё, и безо всякого "Мордухая" обошлись!
Вы не могли бы продемонстировать, „мяу-мяу“ и „гав-гав“ на примере, скажем, доказательства бесконечности множества простых чисел?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 10th, 2011 10:28 am (UTC)

строумэн снимает шляпу (1)

(Link)
Насчёт "синтетического" -- я действительно не сталкивался с таким словоупотреблением в означенном контексте, но если это как бы "кантианство", то мне понятно происхождение.

Что касается преподавания анализа, то я в принципе допускаю такой подход, где "основы" (в виде "редукции") игнорируются ради изучения собственно анализа. Но какой-то курс "основ" всё равно должен быть. Другое дело, что он как бы "нужен" или интересен не всем. Но вот мне, например, узнать эти вещи было намного интереснее нежели ознакомиться с ещё одной "специальной" теоремой какого-нибудь "Фурье".

Я думаю, что понял Вашу позицию более или менее правильно -- это я насчёт "повторений". Могу сказать, что это предпочтение имеет "эстетическую" природу, и мне это даже в каком-то смысле не "чуждо", потому что раньше я сам из этого исходил. Например, мне казалось "варварством" доказывать Малую Теорему Ферма "дедовским" способом. Только с помощью теории групп, и никак иначе! Но в последнее время у меня эта точка зрения сменилась. Я стал больше ценить "старые" приёмы доказательства, потому что сквозь них лучше проступают сами идеи. Вы вот про "папирус" когда говорите, то я вполне могу это даже принять, то есть я сам в детстве учился решать квадратные уравнения примерно так. После чего вывод общей формулы не представлял никакого труда. А по современным школьникам я вижу, что "формула" для них "свалилась с неба". Они просто подставляют туда числа, а сам метод "выделения полного квадрата", лежащий в её основе, вообще не знают.

По поводу общих фактов на уровне метрических пространств я могу сказать следующее. Когда мы будем применять результаты к случаю Q или к случаю R, то в основе всё равно будут лежать проверки того, что сами эти пространства будут метрическими с такой-то метрикой. Это хотя и просто, но какой-то "труд" на это должен быть затрачен. Чем плохи доказательства "по аналогии"? Фактически, тем, что там тоже нужно затратить некие "усилия" -- пусть и небольшие. Мне бывает проще повторить про себя ход доказательства, и понять, что всё "работает" -- по сравнению с тем, чтобы брать какое-то "общее" утверждение, подставлять туда определённые "термы", проверять применимость (то есть выполнимость условий) и всё прочее. Я в таких случаях ощущаю "дискомфорт" из-за "разрыва" со "смыслом".

Я не знаю, в чём Вы видите некорректность моей критики, касающейся работы со "смыслами". Сославшись на сам "тип" применяемого приёма, Вы этим фактически утверждаете, что Вашу точку зрения я как-то слишком упростил или исказил, но тогда надо указать, как именно.

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 10th, 2011 10:28 am (UTC)

строумэн снимает шляпу (2)

(Link)
Вот Вы сейчас сказали, что разница заключается в "автономности" смысла. Я не до конца понимаю, что это в данном случае значит. Фактически утверждается, что "вавилоняне" допускают некую "ошибку" -- при том, что "греки", согласно Вашему описанию, делают ровно то же самое (да и странно было бы видеть обратное). У меня напрашивается такая аналогия: мы -- "мичуринцы", и если партия прикажет, то мы и "законами генетики" воспользуемся -- как чисто "эмпирическими" фактами. Типа, Мендель посеял горох, и там что-то как-то распределилось. Но чтобы там какие-то невидимые "гены" всем управляли (по "своим" автономным законам, не зависящим от указаний товарища Сталина) -- этого мы никак не допустим! :)

Я на примере доказательства бесконечности ряда простых чисел уже иллюстрировал свою мысль в прошлой дискуссии. Не вижу смысла повторять то же самое. Проще показать общий подход на "абстрактном" примере. Вот есть утверждения A, B, C, D, которые друг другу противоречат. Ваше соображение касалось того, что мы "принимаем" все эти положения, считая их условно "верными", а потом показываем, что так быть не может. И тогда выходит, что рассуждать нам никто не мешает -- при том, что противоречивой ситуации не соответствует никакой "эйдос" (или "модель").

Я же на это отвечаю, что это не более чем "приём", то есть формализованная процедура, полученная за счёт анализа специфики реальных осмысленных доказательств. Которые, по моему мнению, всё равно имеют в основе "созерцание эйдосов". Рассуждение легко перестраивается так: вот раз наша система утверждений влечёт противоречие, то существует момент, когда присоединение нового утверждения ведёт от непротиворечивой системы (возможно, "пустой") к противоречивой. Пусть в моём примере A, B, C непротиворечива. Тогда мы "созерцаем эйдосы", и приходим к выводу, что там имеет место "не-D".

Повторю то, что мне кажется самым важным: если "греки" действительно в своей работе делают что-то, что можно назвать "обращением к смыслу", то это и есть "созерцание эйдосов" согласно позиции "вавилонян". Если "грек" будет делать всё то же самое, но отрицать "эйдосы" на словах, то практической разницы просто не будет. Возможно, что в этом "пункте" будет даже какой-то "консенсус", но "грек" скажет, что зачем эти "эйдосы" нужны? Мы, типа, анализируем "доказательства" и обобщаем какие-то приёмы. Но мне это всё не нравится как минимум тем, что практика "доказательств" зародилась в "наивной" форме. При этом она была, и она не могла в тот момент быть "теорией доказательств": самого понятия выработано не было. То есть она была практикой "созерцания эйдосов", от которой потом по непонятной мне причине кто-то решил "дистанцироваться".

Вы, как я понимаю, выступаете против "онтологизации" каких-то вещей, о которых нам (на уровне практики доказательств) не всё "известно". Если причина только в этом, то я могу сказать, какой мне видится выход из этого положения.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 10th, 2011 11:45 am (UTC)

Re: строумэн снимает шляпу (2)

(Link)

Только с помощью теории групп, и никак иначе!... сквозь них лучше проступают сами идеи
Я не совсем понимаю примера. Как МТФ не доказывай, класс объектов (чисел) для которых она выполняется не изменится. Мне кажется, что как-раз в более общих доказательствах идеи проступают лучше, т.к. там отбрасывается всё лишнее. Исторически, обощения обычно возникают как-раз из доказательств, для того, чтобы чётче выделить их структуру.

Они просто подставляют туда числа, а сам метод "выделения полного квадрата", лежащий в её основе, вообще не знают.
Именно про это я и говорил. Метод выделения полного квадрата это и есть _доказательство_ формулы. В вавилонских папирусах формула есть, а доказательства нет. Вместо этого „применяйте аналогию“ (т.е. подставляйте значения).

Чем плохи доказательства "по аналогии"? ... Мне бывает проще повторить про себя ход доказательства, и понять, что всё "работает"
Вы сами очень удачно ответили. Ключевые слова здесь „про себя“. Конечно, можно производить простые вычисления в уме, но почему в школе от этого отучают? Потому что вероятность ошибки больше, так можно решать только относительно простые задачи и проверить невозможно.

Я не до конца понимаю, что это в данном случае значит.
Ровно это и значит: вавилоняне считают, что математические объекы существуют независимо от их сознания, а математические утверждения истинны вне зависимости от того, есть ли у них доказательство. Разница, как вы правильно отметили исключительно мета-физическая, на практике она не проявляется. Аналогию я бы построил такую (из недавнего поста Дмитрия Евгеньевича): мы целый месяц приносили жертвы Мардуку, триангулируя местность теодолитом и уровнём, и молились Иштар, вычисляя элементы треугольников. И, о чудо! наш акведук вышел на проектую мощность. Вот оно доказательство правильности верного учения К. Цезаря и Ф. Августа, и только слепые в своей злобе формалисты со своим сумбуром вместо математики отрицают его вящую истину.

полученная за счёт анализа специфики реальных осмысленных доказательств
Вы же не будуте утверждать, что доказательство от противного исторически позднее неких более ранних типов доказательств, результатом анализа которых оно является?

Рассуждение легко перестраивается...
В том, мне кажется, и проблема, что на практике такой перестройки не происходит. Я согласен, что доказательства можно было бы переписать так, чтобы они соответствовали вавилонскому идеалу. Но сам факт того, что математики их _не_ перестраивают и спокойно работают в противоречивых системах, указывает, что вавилонская модель неправильно описывает существующую математику. (Кстати, я повторял этот аргумент неоднократно, но не видел ответа.)

приходим к выводу, что там имеет место "не-D"
Я не понимаю как, в общем случае, придти к этому выводу не проводя неких рассуждений (иногда значительных), исходя из гипотезы A and B and C and D.

То есть она была практикой "созерцания эйдосов", от которой потом по непонятной мне причине кто-то решил "дистанцироваться".
По непонятной причине фермеры отказываются молиться о дожде. :-) (Аналогия мне кажется весьма точной, т.к. как вы правильно отметили _практической_ разницы от признания эйдосов нет.)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 10th, 2011 02:35 pm (UTC)

молебны и плоды (1)

(Link)
Речь идёт о двух разных доказательствах одного и того же утвержденния (МТФ). В одном случае знакомство с понятием "группы" вообще не предполагается. Берутся числа от 1 до p-1, домножаются на a, и потом проверяется, что остатки от деления на p получатся ненулевыми и попарно различными. Отсюда далее всё следует из свойств сравнений. А в другом случае рассматривается мультипликативная группа поля из p элементов, после чего к ней применяется следствие из теоремы Лагранжа о подгруппах. Это всё Вам хорошо известно, но я на всякий случай повторил, чтоб было яснее. Факт -- один и тот же, но доказательства совсем разные. Моя мысль была в том, что я до какого-то момента считал доказательства первого типа "второсортными", а сейчас так не считаю.

По поводу "папирусов" возникло какое-то непонимание. Я не знаком с "оригиналами", и не знаю, что там написано. Понятно, что "буквенного" доказательства там быть не должно. Но если есть вещи типа x^2+4x=7, x^2+4x+4=11, (x+2)^2=11, x=-2 \pm \sqrt{11}, то "выделение полного квадрата" есть. А если его нет, то я не знаю, как вообще решали? В принципе, можно делать это как-то геометрически, на уровне построений отрезков. Но я не знаю, это ли имелось в виду.

Тот, кто понимает суть применяемого приёма, может обобщить до выведения общей формулы. Тот, кто "вызубрил" формулу, может только подставлять числа, не зная самой идеи решения.

По поводу доказательств и аналогии. Я исхожу вот из какого принципа. Есть какие-то вещи, которые делаются "без труда". Например: вычисление значения выражения a+b при заданных значениях переменных a, b. Или что-то ещё. А есть вещи, пусть и простые, но в которых содержится некая "идея". Например, в теоремах о пределах надо "догадаться" взять e/2 вместо e, или надо знать этот приём. Так вот, если все такие сведения и приёмы сообщены, и их достаточно для "автоматического" проведения доказательства, и нигде не надо "думать" (как в случае с a+b), то детали можно опускать. То, что делается "само", "на автомате", где нет "подводных камней" -- это всё не надо подробно "расписывать". Такой вот я провозглашаю принцип.

Это распространяется не только на простые рассуждения, но и на какие угодно. Если есть маршрут на местности со "стрелочками", то ставить их на каждом сантиметре незачем. Поставили несколько штук, чтобы можно было пройти "в пределах видимости", и хорошо.

> математические объекы существуют независимо от их сознания

Это-то понятно, но здесь важнее сказать, что "греки" считают вместо этого! Кто-то может считать, что "объектов" просто не существует. Кто-то может считать, что это "продукты нашего сознания". Во всех случаях я вижу проблемы. Мы или изучаем "ничто", или изучаем собственный "моск". Такой уж он у нас "вместительный" -- весь мир в него "погрузился"! :)

> утверждения истинны вне зависимости от того, есть ли у них доказательство

Да, я так считаю, и разъяснял, что это значит. Допустим, утверждение "истинно". Тогда у меня есть шанс его доказать (или убедиться в его истинности). Если оно ложно, то у меня такого шанса нет, сколько бы я ни пытался. Это заложено как бы "природой", и по-иному могло бы быть только тогда, когда что-то зависело бы от степени моего "старания" или чего-то ещё. В других видах деятельности так бывает: например, я могу построить дом, могу не построить, и это зависит от меня. Нет "фатальных" причин. А в математике они есть. Вы разницу видите между этими двумя ситуациями -- когда что-то зависит от нас, и когда оно зависит от "природы вещей"? Я понимаю, что само рассуждение апеллирует к "объективной истинности", и "грек" может его не принять. Но я ставлю вопрос о разнице. Если гора в каком-то месте на самом деле есть, у меня есть шанс её увидеть и убедиться в том, что она есть. Если горы там нет -- шанса нет. Гора существует "автономно". А вот если я рисую гору, то могу её нарисовать, а могу не нарисовать. Будет ли гора на рисунке -- от меня зависит. Будет ли она в реальности -- не зависит. Я не могу взять и "насыпать" Монблан.

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 10th, 2011 02:35 pm (UTC)

молебны и плоды (2)

(Link)
Меня интересует вот что: для "грека" в этом всём есть какой-либо смысл, и чему бы он уподобил математическую "реальность": горе, или рисунку горы?

Тезис об "объективном существовании" математических объектов я мог бы ещё так сформулировать: вот есть "материальные" объекты, и есть распространённая концепция "работы" с ними, или есть какой-то набор представлений о них. И тогда я говорю, что по поводу "идеальных" объектов есть некий "изоморфизм". Всё, что можно делать с одними объектами, можно делать и с другими.

Насчёт reductio ad absurdum -- это вопрос о "курице и яйце". Тут невозможно сказать, что было "раньше". Кстати, на сам "пресловутый" вопрос я бы ответил, что "раньше" была идея, включавшая в себя и курицу, и яйцо, а они сами суть "реализации" этой идеи :) Но это как бы "к слову". Я мог говорить прозой применять modus ponens просто "из здравого смысла", не осознавая этого. Тогда что было "раньше": общий принцип, которому я следовал, или это принцип "родился" под влиянием того, что люди какие-то приёмы применяли "миллиарды раз" (как это описывал товарищ Ленин)?

На вопрос о том, что происходит с "неудобными" доказательствами, Вы сами сейчас ответили: что их "можно переписать". А раз так, то это показывает, что сами рассуждения, их "содержательный" смысл, не выходят за рамки "дозволенного". На мой взгляд, этого уже более чем достаточно, но Вы спрашиваете ещё и о том, почему "недозволенное" тоже применяется. Я мог бы ответить так: вот есть какие-то формальные приёмы. Они сами по себе могут применяться вне "контакта" со смыслом, то есть вне "ритуала" созерцания эйдосов. В этом нет противоречия: есть "механические" процедуры (типа того же modus ponens), и мы их применяем "абстрактно", не вдумываясь о том, что там такое являют собой A и B.

Рассуждение "от противного" также есть "приём", который должен быть как-то "оправдан", но не более того. Если его применение от истинных утверждений ведёт к истинным (а это так), то больше ничего не нужно.

По поводу противоречивой гипотезы: Вы используете конъюнкцию, но это не соответствует "реальной практике". Я беру просто набор утверждений, и каждое по отдельности считаю "выполненным". Самого символа конъюнкции я могу не использовать. Я вывожу какие-то следствия из элементов списка, и не более того. Например, если B имеет форму A->~D, то я применяю modus ponens, находясь в "непротиворечивой" ситуации, а затем вывожу ~D и заключаю, что в процессе созерцания этого "эйдоса" должно быть ~D. Но в списке есть D. Значит, там речь идёт о другом "эйдосе" -- о "собаке" вместо "кошки".

Что касается "молебнов", то мне аналогия видится другой. Представим себе, что в силу какой-то "божественной необходимости" оказалось бы так, что "молебны" бы на самом деле чему-то способствовали. И тогда вышло бы так, что и "вавилоняне", и "греки" делают ровно то же самое, только первые честно признают: да, мы "молимсо", и это нам помогает! А вторые бы всё делали абсолютно так же, но не называли бы это "молитвой". А "плод" у них принёс бы, конечно, "аист науки" :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 11th, 2011 02:58 pm (UTC)

стеки и посевы

(Link)
Я понимал ваш пример с МТФ (правда я думал, что под „старым“ вы имеете в виду элементарное доказательство по индукции). Моё возражение было о том, что этот пример не соответствовал обсуждаемой ситуации: обобщая доказательство теоремы о промежуточном значении до „непрерывный образ компакта компактен“ мы как-раз выделяем „идею“ доказательства и при этом существенно расширяем класс ситуаций в которых это доказательство работает. Переход от „школьного“ доказательства МТФ к групповому к подобному расширению не приводит.

Так вот, если все такие сведения и приёмы сообщены, и их достаточно для "автоматического" проведения доказательства, и нигде не надо "думать" (как в случае с a+b), то детали можно опускать. То, что делается "само", "на автомате", где нет "подводных камней" -- это всё не надо подробно "расписывать".
А я провозглашаю принцип, что нужно строить изложение так, чтобы и самой нужды в этих повторениях (да и ещё до степени „автоматизма“) не возникало: автоматизмом должны заниматься автоматы, а у нас слишком мало времени, чтобы тратить его на повторы.

В вашем методе мне видится изъян, который вы раньше отмечали сами, говоря о историках, которые оставляют многое „в уме“. Действительно, допустим у нас есть масса похожих результатов доказанных по аналогии. Теперь я хочу заменить классические действительные числа на нестандартные. Как мне узнать, какие результаты сохранятся? Так как доказательства не записаны, то только пройдя через них заново, до обретения нового „автоматизЬма“. Если же доказательства выписаны (и организованы без повторов), то ссылки были бы явно видны сразу.

но здесь важнее сказать, что "греки" считают вместо этого!
Я не совсем понимаю вопрос. Шахматисты, что, по-вашему, изучают, свой мозг или ничто (я надеюсь не эйдос Присносущих Шахмат)?

Да, я так считаю, и разъяснял, что это значит.
Здесь всё время воспроизводится загадочная ситуация. Вы выдвигаете тезис „утверждения истинны без доказательств“ и начинаете демонстрацию с предположения „пусть утверждение истинно ...“, т.е. вавилонский идеал настолько силен, что вы не замечаете очевидного порочного круга.

Заложенность „природой“ вещь совершенно обычная и вне математики: например, я беру слово „гурманилизация“. Кто-бы, когда-бы, где-бы во всей вселенной его не написал, оно будет совершенно одинаковым и другим быть не может. Нет ли тут некоего автономного эйдоса?

Я мог бы ответить так: вот есть какие-то формальные приёмы. Они сами по себе могут применяться вне "контакта" со смыслом, то есть вне "ритуала" созерцания эйдосов.
Это и есть примерно то, о чем я говорю: теория эйдосов начинает описывать математику, только если предположить, что некоторые действия математиков делаются не для того, для чего сами математики их делают. Это вроде того, как сладчайший марксизм учил, что запад загнивает, но только сам де этого не замечает.

Например, если B имеет форму A->~D, то я применяю modus ponens, находясь в "непротиворечивой" ситуации, а затем вывожу ~D и заключаю, что в процессе созерцания этого "эйдоса" должно быть ~D.
То, что вы описываете это не доказательство от противного, в котором отрицание доказуемого добавляется к посылкам и используется для достижения противоречия. Т.е. в ваших терминах, A->~D доказывается с использованием гипотезы D. Т.е. весь процесс такого доказательства происходит на eidos-free территории.

Представим себе, что в силу какой-то "божественной необходимости" оказалось бы так, что "молебны" бы на самом деле чему-то способствовали.
Тут уж пожалуй остаётсё только заметить, что вам опять приходится аппелировать к божественному промыслу, как и с „глобальными фальсификациями“.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 11th, 2011 06:48 pm (UTC)

устаревший Рассел (1)

(Link)
Насчёт МТФ Вы совершенно правы: есть ведь ещё доказательство, основанное на том, что все числа вида C_p^k делятся на p. Я про это забыл в момент написания.

Обобщение теоремы "классического" анализа до утверждения "современного" анализа -- вещь в принципе нужная, но тут вот какой момент возникает. В какой-то момент оказывается, что есть понятие "компактности", что оно важно, что оно хорошо работает во многих ситуациях и проясняет какие-то вещи. Тогда мы его привлекаем, и всё как бы хорошо. Но бывают понятия другого плана, которые (на мой взгляд) только мешают. Чтобы не "возбуждать общественность", я не буду здесь ничего говорить. Скажу только, что искусственное внесение "категорного" подхода во многих случаях всё только запутывает.

Что я вижу плохого в Вашем подходе "без повторений"? Вот пишется какой-то длинный текст, и вдруг выясняется, что лемма 100 напоминает лемму 19. Возникает потребность (осознаваемая лишь на этом этапе) сформулировать обобщённое утверждение и доказать его на месте леммы 19. При этом приходится вводить ещё несколько "абстрактных" понятий. Соответственно, лемма 100 становится уже не нужна, и вместо её использования далее, идёт ссылка на всё ту же лемму 19. Я не скажу, что так в принципе нельзя делать, но в любом случае этот замысел должен "окупаться". В случае привлечения понятий общей топологии именно так и происходит. Но бывает и по-другому. Я вот читаю текст, и вижу "искусственное" утверждение. Мне сразу хочется понять, откуда оно взялось, и каков его смысл. Будь там лемма 19, всё было бы прекрасно. А так получается, что я должен совершить "экскурс в будущее", выяснить наличие там леммы 100 и понять, что всё вызвано именно этим обстоятельством. Далее, я должен затратить некоторый труд на то, чтобы осознать, что за абстрактными объектами из "новой" леммы 19 стоят, в частности, те объекты леммы "старой", которые там должны быть.

То есть вопрос об "окупаемости" так или иначе встаёт. Одно дело, если какие-то понятия далее много раз пригодятся, и другое -- когда речь о чём-то искусственном, что нигде более не встретится. Я бы применил такой подход: сравнил бы суммарную длину доказательства. В одном случае что-то повторили дважды. В другом -- добавили понятие (не самое нужное), и тогда надо учитывать "объём" его описания, к которому добавляется уже не две "порции" доказательства, а всего одна. Плюс время на осознание того, что при "подстановке" каких-то понятий в общее утверждение возникает именно тот частный случай, который нужен, а не что-то похожее.

Кстати, для меня при чтении статей именно такие операции проверки наиболее "болезненны". Потому что я не знаю (до прочтения) стоящей за этим "идеи", и тогда проверки сводятся к чему-то "механическому". Осознать же то, что если "эпсилон" является действительным, то всё происходит так же, как раньше было с рациональным числом, мне проще. И степень уверенности при этом выше.

Кстати, я подумал, что при переходе от Q к R проще всего сделать вот что. К этому моменту свойства Q уже доказаны, и уместно сказать, что это есть упорядоченное поле. Это-то понятие всё равно нужно. Далее свойства фундаментальных последовательностей формулируются и доказываются в терминах произвольного упорядоченного поля. Когда R будет построено, с установлением всех свойств (включая архимедовость, полноту etc), можно опираться на предыдущие утверждения уже "чисто", потому что упорядоченность поля вещественных чисел к этому моменту уже будет установлена.

Да, и вообще я бы брал за основу "единицы измерения" такую вещь как объём "труда", затраченный читателем. При одном и том же содержании, лучшим оказывается тот учебник, который легче воспринимается. Где на читателя не перекладывается труд по проверке, где нет "очевидно, что", где нет доказательств типа "это следует из (14), леммы 9в и формулы (22)". Последнее хоть и общепринято, но я так никогда не пишу, и чем дальше, тем больше ненавижу этот стиль!

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 11th, 2011 06:49 pm (UTC)

устаревший Рассел (2)

(Link)
Ваш пример сопоставления с "историей истории", о котором далее говорится, в принципе правомерен. Но не следует всё-таки переоценивать этот эффект. Он возникает иногда, где теряются связи. Но это вовсе не значит, что надо "всё расписывать". На практическом уровне, проблема может вовсе отсутствовать, и тогда получится, что мы "всуе трудились". А для меня, кстати, этот момент важен: "напрасный труд" для меня есть некий "проигрыш", причём невосполнимый. Совершённую ошибку ещё можно исправить и чему-то научиться. А тут уже ничего не вернёшь.

О шахматистах: тут Вы меня просто поразили! Они, конечно, имеют дело с "эйдосом шахмат" (который очень просто описывается -- в отличие от многих других "эйдосов"), а также с "эйдосами" возникающих в процессе игры позиций. Как можно это считать изучением "своего мозга"? Вы вообще насколько серьёзно это сказали? А то у Вас бывает иногда какая-то ирония, суть которой не всегда ясна сразу. Вот машина может в шахматы играть, так она что, при этом "изучает" свой процессор или "винчестер"? А "моск" один и тот же для игр в шахматы и в шашки, при этом процессы идут совсем разные, и "думанье" происходит о разном.

> вавилонский идеал настолько силен, что вы не замечаете очевидного порочного круга

Я это учёл как раз! И даже специально сделал на этом "акцент" в пределах цитируемого абзаца! Не люблю "автоцитат", а особенно тех, которые только что звучали. Но вот мои слова: "Я понимаю, что само рассуждение апеллирует к "объективной истинности", и "грек" может его не принять. Но я ставлю вопрос о разнице."

Этот вопрос я считаю очень важным, и поскольку Вы пока на него не ответили (он у меня был задан в "неявной" форме), то давайте поступим так. Я сейчас спрошу то же самое, но на более простом "материале". Эта иллюстрация возникла у меня незадолго до прочтения Вашего последнего коммента.

Есть колода игральных карт. Она тщательно тасуется, и стоит вопрос о том, какова третья сверху карта. Колода лежит на столе, тасовать её более нельзя, то есть всё "предопределено". Однако никто не знает, какая это карта. Аналогом "доказательства" будет извлечение этой карты и демонстрация того, что это, скажем, дама пик.

Согласны ли в с тем, что когда колода уже лежит, то утверждение о том, что третья карта представляет собой даму пик -- это осмысленное высказывание? И что оно либо истинно "от природы", либо ложно (также "от природы")? Что от нас уже ничего не зависит, поскольку ничего менять нельзя?

Мне очень трудно представить себе, чтобы Вы ответили отрицательно на мои вопросы. И тогда спрашивается, какая принципиальная разница между этим вопросом о даме пик, и вопросом о том, является ли простым какое-нибудь 29-е число Ферма? Доказательства у нас нет ни в ту, ни в другую сторону. Вы, как я понимаю, объявляете бессмысленным сам вопрос об "истинности". Но я надеюсь, что с дамой пик это всё-таки не так, и тогда мой главный вопрос заключается в следующем: где принципиальная разница между колодой карт и натуральным рядом (хотя бы в пределах чисел Ферма с "небольшими" номерами)?

Отвечать можно в "вольной" форме -- лишь бы стала видна суть.

У меня тут ещё возникла одна как бы "подтема", обсуждение которой что-то способно прояснить, но я с ней пока подожду. На всякий случай, я хотел бы это обсуждение "поставить в очередь", и тогда полезно было бы отметить, что касаться оно будет вопроса о том, почему об "истинности" континуум-гипотезы в неком "абсолютном" смысле мы говорить не можем, а об истинности арифметических утверждений -- можем. То есть я хочу привести некие аргументы в пользу этого.

О "гурманализации": вопрос сходного типа мне однажды уже задавали. Было это так: я дискутировал с одним человеком, который в ЖЖ не представлен (по крайней мере, у него не было аккаунта в тот момент), но он увидел упоминание своего имени, и потом мы в "частном" порядке дискутировали по "емеле". Он не хотел, чтобы его фамилия упоминалась (она в принципе очень известная), поэтому я не буду говорить, кто это был. Так вот, он мне задал тогда вопрос, который меня в некотором смысле "поставил в тупик", и я даже признал этот факт. Сам вопрос имел форму, существует ли "эйдос" чего-то конкретного. И мне не хотелось отвечать ни "да", ни "нет". Оба ответа чем-то меня не устраивали.

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 11th, 2011 06:50 pm (UTC)

устаревший Рассел (3)

(Link)
Позже я нашёл некий выход из этого "тупика", и поэтому Вам сейчас на вполне аналогичный вопрос уже смогу дать ответ. Вы берёте слово, которое не имеет никакого конкретного смысла. Оно тем самым не указывает ни на реальный, ни на идеальный "объект". Спрашивать, существует ли "эйдос" этой вещи, в некотором смысле некорректно. Потому что положительный ответ подразумевает следующее: существует определённый "эйдос", и при этом употреблённое Вами "странное" слово на него указывает. Поэтому, если брать за основу эту трактовку, то получается, что "формальный" ответ на Ваш вопрос отрицателен.

Однако Ваше слово, будучи бессмысленным, имеет "форму". Эта "форма" всегда отличается от "содержания" (которого в данном случае вообще нет) -- подобно тому, как слово "стол" не является реальным столом. Исходя из того, что слово вполне конкретное, и всем может быть воспроизведено (в предположении, что сами буквы русского языка "инвентаризованы", оно само (чисто как слово) имеет "эйдос", то есть оно на что-то "указывает". Фактически, оно есть последовательность натуральных чисел типа 4, 21, ..., 33. В таком качестве у неё есть "эйдос", как есть он у любого математического объекта.

Надеюсь, я "закрыл" этот вопрос своим ответом, хотя допускаю, что далее могут появиться новые вопросы на ту же тему.

О выводе противоречия: в моём примере, если Вы заметили, система A, B, C предполагается непротиворечивой, а формула B имеет вид A->~D. Поэтому из неё по modus ponens следует ~D. Это выводится, как Вы можете видеть, только из A и B. Последнее предложение тут не участвует. Просто ~D ему противоречит, что я на "содержательном" уровне трактую как то, что "это из другой оперы". Я думаю, Вы согласитесь с тем, что наличие разных опер не противоречит друг другу "бытийственно", и что замечание о том, что "сердце красавицы..." -- это не Моцарт, вполне состоятельно.

Насчёт eidos-free я уже сказал, что сам факт рассуждения "от противного" можно трактовать как применение формального приёма. Мы раз и навсегда установили, что применение этого приёма по принципу "чёрного ящика" от истинных утверждений ведёт к истинным. Обоснование вполне стандартно, и базируется оно на анализе того, что происходит с произвольно взятым "эйдосом", если его начать изучать. Применение правила происходит чисто формально, и мы следим здесь лишь за "формой", то есть чисто синтаксическим видом самих утверждений. Например, то, что D и ~D вступают между собой в противоречие, не связано с изучением или представлением того или иного "эйдоса".

Последнюю Вашу фразу я не понял. Я предложил Вам некий "сюжет", который можно назвать "сказочным". И вопрос был наподобие того, как детей могли бы спросить по поводу какой-нибудь сказки. Типа, Кот В Сапогах -- он хороший или плохой? В рамках сюжета сказки вопрос выглядит вполне осмысленно. Мне казалось, что и предложенная мной для размышления ситуация обладает таким свойством. Но если Вас это не устраивает, то есть смысл подумать о каком-то "перетолковании". Кстати, сам тот факт, что требуется "перетолковывать", уже говорит о том, что вполне осмысленные (для меня) вещи Вы трактуете как бессмысленные, и я считаю, что это плохо. Рассел для меня безоговорочно устарел.

P.S. Целых три части вышло!
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 14th, 2011 06:03 pm (UTC)

черный ворон

(Link)

Скажу только, что искусственное внесение "категорного" подхода во многих случаях всё только запутывает.
Понятия „хорошо“ „работают“ для какой-то цели. Как я уже говорил, мне больше всего нравится изложение с параллельными определениями и доказательствами эквивалентности. Кстати, одним из первых (первым?) случаем, когда мы пересеклись в LJ было обсуждение некоего категорного доказательства. Для меня его польза в том, что оно от специфики теории групп никак не зависит: его легко отполировать до общего доказательства, работающего для большинства математических объектов. Лучшим было бы изложение ссылающееся на общую теорему и дающее явную конструкцию через слова.

Кстати, я подумал, что при переходе от Q к R проще всего сделать вот что.
Вы смотрели книжку Конвея, на которую ссылается картинка из начального сообщения? Там, при помощи очень простой конструкции строится упорядоченное „поле“ (в кавычках, т.к. оно proper class), включающее действительные числа и все ординалы, причём полностью с нуля: не предполагается даже натуральных чисел.

О шахматистах: тут Вы меня просто поразили! Они, конечно, имеют дело с "эйдосом шахмат"
После эпического обсуждения Дойча я остался при убеждении, что вы даже и физическим теориям, не говоря о шахматах, отказываете в таком же статусе „идеальности“, какой имеют математические теории. Ну ладно, шахматисты играют в эйдос шахмат. А футболисты? А муравьи строят муравейник в соответствии с эйдосом?

Где принципиальная разница между колодой карт и натуральным рядом (хотя бы в пределах чисел Ферма с "небольшими" номерами)?
Нет никакой. У меня своя колода, у Евклида своя.

На всякий случай, я хотел бы это обсуждение "поставить в очередь", и тогда полезно было бы отметить, что касаться оно будет вопроса о том, почему об "истинности" континуум-гипотезы в неком "абсолютном" смысле мы говорить не можем, а об истинности арифметических утверждений -- можем.
Интересно.

Фактически, оно есть последовательность натуральных чисел типа 4, 21, ..., 33.
Вы это соображение уже высказывали „в глубинах Дойча“, я там отвечал: возможность подключения к идеальному миру по случайным гёделевым номерам, которая требуется для автономности и объективности эйдосов, приводит к весьма странным последствиям (например, кот может постигнуть доказательство гипотезы Римана).

Это выводится, как Вы можете видеть, только из A и B. Последнее предложение тут не участвует.
Доказательство от противного выглядит не так. В нём, D используется для доказательства A->~D (иначе незачем и присоединять гипотезу).

Последнюю Вашу фразу я не понял.
Мой ответ был не совсем серьёзным, извините. Вы, по сути, пишете, что греки придерживались бы своей точки зрения, _вопреки_ вящим свидетельствам обратного. Каков статус этого предположения мне не понятно. Предполагается, что он описывает действительность (т.е., что вавилонские молитвы _действительно_ помогают математикам)? Или, что греческая точка зрения это такая форма религиозности, которая не считается с фактами?

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 14th, 2011 10:08 pm (UTC)

2nd order arithmetic (1)

(Link)
Я перечитал то обсуждение, где было про доказательство Титса. На это могу сказать вот что: я его отношу к области "универсальной алгебры" (то есть, по сути, математической логики). Фактически, это "урезанная" теорема Биркгофа. Всё это могло бы существовать при полном отсутствии самого понятия "категории". Кроме того, "универсальные" конструкции типа "универсального накрытия", "компактификации Стоуна - Чеха" -- это всё именно "конструкции", то есть полезные вещи. Да, они обладают при этом какими-то свойствами, легко формулируемыми на "категорном" языке. Других связей я не вижу. Конструкции эти все разные, и сведения о категориях никак содержательно не помогают.

Книжку Конвея я не видел, а о конструкции знаком "понаслышке". То, что картинка "кликабельна" -- это я только сейчас узнал. Надо будет ознакомится как-то более детально, потому что идея выглядит интересно.

Когда Вы сослались на обсуждение книги Дойча, то это для меня мало что прояснило. Там ведь очень длинные дискуссии были, и на разные темы, по сути дела. Я не знаю, что именно привлекло Ваше внимание в первую очередь. Я сейчас мог бы сказать, что я думаю по поводу физических теорий (на них я смотрю как на некие "сказки о реальности"), но думаю, что это увело бы от темы.

Что касается муравьёв, пчёл etc, то этот вопрос более или менее ясен, мне кажется. Понятно, что они не изучали геометрию, но сама реальность как-то "склонила" их поведение к тому, чтобы строить, например, соты, в соответствии с каким-то геометрическим законом. Я смею надеяться на то, что "разум" пчёл недостаточно высок, чтобы "коннектиться" с соответствующими "эйдосами", то есть "сознательно" о них размышлять. Однако "эйдосы" реально влияют на "материальный" мир, "воплощаясь" в нём. Когда мы видим соты, то у нас в головах возникает мысль о "паркете" из шестиугольников, то есть об "идеальном" объекте с определёнными свойствами типа "прочности". И этот "эйдос" в каком-то смысле "повлиял" и на поведение пчёл -- через свойства реальности.

На вопрос про колоду Вы, к сожалению, не ответили в том "формате", который я подразумевал. Я ещё раз попробую его задать. Вопрос о том, какая карта в колоде (конкретной, лежащей на столе) имеет "божественный" статус. То есть справедлив ровно один ответ на этот вопрос. Это определяется не нами, а "порядком вещей". Я спросил, можно ли то же самое отнести к вопросам типа простоты n-го числа Ферма (пусть для каких-то отдельных фиксированных значений n). Если да, то какова принципиальная разница с "божественным" заданием истинности других арифметических фактов? Если нет, то как это соотнести с картами (где, я надеюсь, ответ всё-таки "да")?

Прежде чем говорить дальше, я хочу обсудить пример с "котом". Это в чём-то похоже на "пчёл", и вместе с тем не вполне похоже. Доказательство теоремы Ферма (беру этот пример, потому что оно есть) -- это текст конечной длины. В таком качестве можно представить себе "учёного кота", идущего не "по цепи", а вдоль полного словаря текстов. Конечно, если он пройдёт мимо текста с доказательством, мы не может сказать, что он его "постиг". Но вот если он, идя мимо именно этого текста, вдруг чем-то прореагирует (например, тем, что "песнь заводит" :)), то тогда да, вполне!

Заодно выскажусь и по поводу доказательств "от противного". В том примере, который я привёл, можно обойтись без применения самого приёма. Я не опираюсь на D как на гипотезу, а просто из A и B вывожу ~D по modus ponens. Тут если и можно к чему-то "придраться", то лишь к тому, что это частный случай. Тогда давайте поставим общий вопрос: можно ли в принципе обойтись без рассмотрения "противоречивых" ситуаций?

Ясно, что если A, B, C, D вместе противоречивы, то из A, B, C логически выводимо ~D. Вопрос, как я понимаю, состоит в том, можно ли к этому выводу прийти "чисто", то есть нигде в процессе этого доказательства не принимая D в качестве "гипотезы" (приводящей далее к противоречию, и тем самым доказывая ~D)?

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 14th, 2011 10:09 pm (UTC)

2nd order arithmetic (2)

(Link)
Честно говоря, я "глубоко" над этим всем не думал, но мне кажется, что для разрешения нашего с Вами спора это вообще не обязательно. Есть много способов "обойти" саму эту проблему. Идти надо в любом случае от реальной практики рассуждений. Ведь все правила были установлены именно на этом пути. И тогда окажется, что мы просто пытаемся извлекать те или иные следствия из определённых положений, иногда попадая в "тупик". Вот даже со всем известной "головоломкой Эйнштейна" так происходит: я видел "интерактивные" варианты, где всех этих шведов и англичан можно "поселять" в домики, снабжая их рыбками, кошками или "Мальборо". Это "эмпирика", и тут налицо "эйдосы", имеющие вполне конкретное и простое "воплощение". При этом где-то может "по логике" в одном из вариантов выйти, что в домике живут двое. Это ведь противоречит только условию задачи, но в принципе такой вариант вполне возможен: мы легко его себе представляем. Просто он "забраковывается", так как происходит осознание того, что это не тот "эйдос", о котором идёт речь в задаче.

В евклидовом доказательстве мы конструируем число, которое не делится ни на какое простое. Ясно, что в каком-то "мире" такое явление возможно. Но это будут не натуральные числа, а какая-то "извратная" конструкция.

Теперь о фразе с "молитвами". Я взял "нереальный" пример, предлагая его обсудить. Если он не подходит, можно взять другой. Например, те же "законы генетики". Для того, кто отрицает наличие генов и законов, какие-то обращения генетиков к смыслу этих понятий могут выглядеть чем-то вроде "молитв". Которые, тем не менее, "помогают". А внешне всегда можно представить дело так, что ничего этого нет, и что "урожайность" повышается просто за счёт мудрой политики партии и следования принципам "мичуринской биологии".

Вряд ли можно представить себе математика, который что-то выводит из аксиом на чисто синтаксическом уровне. Представить-то он результаты своей работы в таком виде может, но способ нахождения нужных термов, которые где-то надо подставить, и многое другое -- это он находит в результате содержательного анализа каких-то "образов" (типа того же натурального ряда). А это неотличимо от работы с "эйдосами" -- для того, кто "верит" в их "существование". Поэтому Ваша "греческая" позиция представляется мне каким-то "камуфляжем" того, что реально происходит.

TBC
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 14th, 2011 10:10 pm (UTC)

2nd order arithmetic (3)

(Link)
Наконец, выполняю Вашу просьбу насчёт множеств и чисел. После результатов Коэна многие сочли, что это "удар" по "математическому платонизму". Обоснование было понятное: раз в каком-то смысле можно считать и так, и так (по поводу AC или CH), то нет "эйдоса", который "диктует" нам решение. Я же считаю, что для столь "радикальной" точки зрения нет оснований. Возможно, что таких "эйдосов" не один, а несколько, и мы просто пока не видим разных "версий" теории множеств -- на манер евклидовой и неевклидовой геометрий. А может быть и так, что ZF плохо формализует наши интуитивные соображения, и не даёт ответа по этой причине. Есть математики (даже среди моих френдов), которые полагают, что континуум как "объект" в полной мере "задан", и поэтому вопросы об истинности AC и CH имеют вполне корректный смысл. Просто мы пока это всё не изучили достаточно глубоко.

Моя точка зрения вот какая: я считаю, что вопрос об истинности имеет смысл только в пределах "модели", но я для теории множеств "в целом" такой модели просто не вижу в "законченном" виде. Поэтому вопрос считаю некорректным, но допускаю, что какая-то модель может быть построена, и тогда вопросы обретут смысл. Может быть и так, что будет предложено несколько "естественных" моделей, из которых трудно будет выбрать "лучшую". В конце концов, тут многое определяется не "истинностью", а тем, хотим ли мы рассматривать "множества" определённого вида. Вот отказались же в ZF от "нефундированных" множеств, хотя в принципе их тоже можно было бы изучать. Можно было бы "запретить" пустое множество, то есть просто его не рассматривать. Это неудобно, но "теория" при этом была бы вполне состоятельной.

Для чисел же я не вижу альтернативы. Тут, конечно, можно включать или не включать 0, но этим всё и ограничивается. Странно было бы предложение не включать число 100. Это была бы уже не арифметика. Кто-то ставит вопрос об "очень больших числах" типа 2^2^...^2 много раз. На этом пути возможны какие-то "разумные" модели "ультрафинитистского" типа, но это уже выводит за рамки "классики".

В пользу "настоящего" натурального ряда и его "единственности" у меня есть одно совсем простое соображение: он описывается в рамках теории второго порядка вполне понятными и простыми аксиомами. Почему при этом надо брать именно арифметические свойства (что приводит к "неполной" арифметике Пеано), я не знаю. Есть вполне ясное, точное, однозначное описание. И я на основании это "верю" в единственность "настоящего" натурального ряда. Просто не вижу, где тут может быть "подвох".

Интересно, что Вы думаете по этому поводу?

P.S. Кстати, "ворон" был в связи с чем упомянут?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 17th, 2011 06:57 pm (UTC)

next order (0)

(Link)

На это могу сказать вот что: я его отношу к области "универсальной алгебры"... Всё это могло бы существовать при полном отсутствии самого понятия "категории".
Универсальные алгебры (сигнатуры, операции и т.п.) там никак не используются. Для доказательства достаточно очень общих и именно категорных соображений о том, что морфизмы определённого класса пропускаются через некоторое множество морфизмов. Т.е. это не теорема Биркгофа, а теорема П. Фрейда.

Других связей я не вижу.
Разве этого не достаточно? То, что совершенно разные с виду конструкции из удалённых друг от друга частей математики оказываются проявлениями одного и того же принципа это замечательный способ продемонстрировать единство математики (обладающий эстетической ценностью), который нельзя упускать в учебнике. Неужели вы предпочтёте обычное теоретико-множественное определение инъекции и сюръекции, в котором утеряна симметрия, категорной паре мономорфизм, эпиморфизм?

Я спросил, можно ли то же самое отнести к вопросам типа простоты n-го числа Ферма.
Да.

Если да, то какова принципиальная разница с "божественным" заданием истинности других арифметических фактов?
В том, что вместо божественной колоды у каждого своя, как я и сказал: каждый математик (или компьютерная программа) изучает _свою_ колоду в которой свои „факты“. Факты эти не обладают автономией.

Конечно, если он пройдёт мимо текста с доказательством, мы не может сказать, что он его "постиг".
В том и дело, что вы обосновывали объективность эйдосов, их универсальную доступность, тем, что у каждого есть номер, к которому можно присоединиться. Если же, теперь оказывается, что номера эйдоса недостаточно для его постижения, как вы объясняете, что эйдос „число которое я задумал“ (который имеет некоторый гёделев номер) автономен и другие могут к нему „подключиться“?

Я не опираюсь на D как на гипотезу, а просто из A и B вывожу ~D по modus ponens. Тут если и можно к чему-то "придраться", то лишь к тому, что это частный случай.
Это _не_ случай доказательства от противного. Это прямое доказательство ~D.

Это ведь противоречит только условию задачи, но в принципе такой вариант вполне возможен: мы легко его себе представляем.
Здесь вы неявно предположили то, что выше объявили не обязательным: каждое рассуждение можно свести к форме, где не будет противоречивых гипотез, а противоречие возникает только в последний момент „атомарно“.

Страх перед рассуждениями в противоречивой системе мне кажется суеверием. Несколько странно нагромождать искусственные конструкции, которых математики в реальности не придерживаются, только чтобы загнать математическую практику в границы пустыни эйдосов.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 17th, 2011 06:59 pm (UTC)

next order (1)

(Link)

Для того, кто отрицает наличие генов и законов, какие-то обращения генетиков к смыслу этих понятий могут выглядеть чем-то вроде "молитв". Которые, тем не менее, "помогают".
Мне до сих пор не понятна аналогия. Вы считаете, что вера в автономные эйдосы „помогает“ в математической практике? Кажется выше вы говорили, что разницы никакой нет.

Поэтому Ваша "греческая" позиция представляется мне каким-то "камуфляжем" того, что реально происходит.
Мне кажется вы сформулировали _мою_ позицию: на практике, наличие эйдосов неотличимо от их отсутствия, т.е. они ненаблюдаемы. Остаётся непонятным почему вы предлагаете верить в их существование.

Вот отказались же в ZF от "нефундированных" множеств, хотя в принципе их тоже можно было бы изучать.
Я помню обсуждение множеств типа X = {X}. Недавно я сообразил в чём с ними проблема: перестаёт работать (трансфинитная) индукция.

Странно было бы предложение не включать число 100. Это была бы уже не арифметика.
Вы всё же неосознанно исходите из предположения, что теории отражают некие объективно существующие и данные нам „свыше“ идеальные структуры. Если же вы представите, что их можно варьировать для _удобства_, то все встанет на свои места и загадочная выделенность арифметики исчезнет и без путешествия в страну ультрафинитаризма. Например, устройства, при помощи которых мы обмениваемся сообщениями построены (и при этом замечательно работают) на основе арифметики, в которой есть наибольшее число и при этом не такое уж и большое.

Почему при этом надо брать именно арифметические свойства (что приводит к "неполной" арифметике Пеано), я не знаю.
Насколько я понимаю, проблема в том, что арифметика второго порядка с „семантикой Генкина“ не отличается от теории первого порядка (имеет модели произвольной мощности и т.п.), а для „стандартной семантики“ нет удовлетворительной теории доказательств.

P.S. Кстати, "ворон" был в связи с чем упомянут?
Bertran этимологически значит нечто вроде „славный ворон“.

(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 10:50 am (UTC)

мичуринские греки

(Link)
Посмотрел статью -- конструкция весьма симпатичная! Основная идея там сразу же сформулирована в начале, то есть всё сразу становится понятно.

Интересно то, что хотя прямого "отсыла" к рациональным числам там нет, но на "идейном" уровне автор этим всё равно "оперирует". Это само по себе интересно в свете нашей дискуссии о "греках" и "вавилонянах": я к тому, что Ваши "любимцы" всё равно никуда не деваются от "оперирования" в уме теми "сущностями", которые на словах считаются "несуществующими". Не помню, приводил ли я при Вас этот пример, но мне это напоминает сюжет из романа Дудинцева "Белые одежды" -- когда сладостный "Касиан Демианович" тайно пользовался результатами "вейсманистов-морганистов", демонстрируя потом свои "достижения" в области "мичуринской биологии"! :)

А статью эту, кстати, я потом "подкину" кому-нибудь из студентов! Для темы "курсовой" очень хорошо подходит.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:algebraic_brain
Date:December 28th, 2011 06:36 pm (UTC)
(Link)
Нет, только не на синтетической.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 21st, 2012 03:26 pm (UTC)
(Link)
Cartesian Differential Categories Revisited
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sober_space
Date:August 21st, 2012 05:20 pm (UTC)
(Link)
Спасибо

Я сейчас пытаюсь думать о дифференциальном операторе как о чём-то вроде (гротендиковского) расслоения, только определённого не для категорий, а вообще для любых полугрупп с 0. Вроде бы все примеры укладываются. Пропадают конечно алгебраические свойства, но общий смысл удерживается.
(Reply) (Parent) (Thread)