?

Log in

No account? Create an account

„Но они не имеют к анализу никакого отношения.“ - The chronicler of 452 — LiveJournal

Oct. 8th, 2011

03:01 am - „Но они не имеют к анализу никакого отношения.“

Previous Entry Share Next Entry


Так отзывается в „Основах современного анализаДьедонне о построениях в „Основах анализаЛандау, которые меня (и, наверное, не только) удивляли тем, что там сначала определяются натуральные числа, потом их отношения, потом Дедекиндовы сечения отношений, и только потом вводятся отрицательные числа (в обратном порядке). В стандартных изложениях, за натуральными числами следуют целые, и все последующие классы уже идут со знаком. Совсем недавно я обнаружил объяснение в весьма неожиданном источнике:



(On Numbers and Games, Conway, pp. 25--27).


Будет только справедливо, если очередные „Основы анализа“, написанные лет через 30--40 и построенные на какой-нибудь „синтетической дифференциальной геометрии“ объявят все эти метрики, пределы и нормы, которые с таким тщанием возводит Дьедонне „не относящимися к анализу“.

Comments:

[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 8th, 2011 06:52 am (UTC)

"– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Действительно, метрика не очень похожа на фундаментальное понятие, скорее должна определяться через что-то более основательное. Синтетическая геометрия, кстати, до определения метрики не до(тягивает)ходит; и выглядит скорее как использование "темы" из теоремы Гельфанда-Неймарка, когда пространство заменяется на махсимальные идеалы алгебры функций.
Есть еще определение метрики (в некоммутативной геометрии) Конна через оператор Дирака - не совсем удачное на мой взгляд.
Мне очень нравится статья Картье (Cartier - A mad day's work: from Grothendieck to Connes... Bull AMS 38:4 (2001) 389-408.) о том, что такое пространство, но там тоже метрика еще не определяется. Но можно надеяться, что лет через 30 ...
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 09:36 am (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Спасибо за ссылку. В Numdam есть статьи о альтернативных основаниях анализа (P. Michor, A convenient setting for differential geometry and global analysis. и пр.), наверное потому, что Ehresmann сам этим увлекался.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 10th, 2011 08:05 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Спасибо! Никак не получалось дочитать Михора (Моердика, ет алл) хотя бы до середины. Знаете, как рэквием Моцарта: после определенного момента неизбежно отвлекаюсь ... так и не знаю, чем там заканчивается. А вот еще одна статья Картье, если не видели думаю будет интересно (про висящую в воздухе (Манин) конструкцию интегралов Фейнмана, суммирование бесконечностей)

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/SLC/wpapers/s44cartier1.pdf
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 10th, 2011 08:22 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
Забавное совпадание. Я, начав читать Картье по вашей предыдущей ссылке, тотчас вспомнил, что статью эту уже читал, но бросил, дойдя до "меньшевистской революции февраля 1917, за которой последовала большевистская революция октября 1917" (это про биографию отца Г.). Понятно, что предмет достаточно экзотической для западного человека, но тут он вроде берётся восстанавливать исторический контекст, оказавший влияние на Гротендика, а рассказывает арабские сказки. В этот раз, наверное, дочитаю.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:andy_dutch
Date:October 10th, 2011 08:28 pm (UTC)

Re: "– Да, это важнейший вопрос ... "

(Link)
А, а я эту статью начал читать, пропустив начало! (историю Гротендиков я читал до этого где-то еще.)
Интересное там начинается в 3 или даже 4 параграфе, история кончается и начинается история математики.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 8th, 2011 08:00 am (UTC)

не абстрактные абстракции

(Link)
А что Вам не нравится в этом подходе, и что можно было бы предложить взамен? Вы считаете, что законы типа дистрибутивного вообще не надо доказывать, или хотите разбирать "64 случаев"?

Лично мне все эти конструкции всегда очень нравились. А в конце там там или иначе получался "стандартный" вид числа (типа n, 0, или -n). То есть "ущерба" ровно никакого.

Да, и я обычно когда читаю курсы на эту тему, то R строю при помощи последовательностей Коши. Сечения Дедекинда мне всегда казались более искусственными. Их преимущество только в том, что они быстрее позволяют охарактеризовать новые объекты, то есть вещественные числа. Но это вообще-то примерно то же явление, как и числами типа -n.

И ещё хочу особо отметить, что "абстрактную" математику я не люблю, но здесь возникает совсем другое явление.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 09:52 am (UTC)

Re: не абстрактные абстракции

(Link)
Мне тут „всё“ нравится, кроме чересчур категоричного утверждения Дьедонне. Просто раньше я, видимо из-за недостаточного опыта преподавания, не понимал почему Ландау идёт нестандартным путем. Мне, лично, более естественным кажется использование сечений (например, действительное число определяется как счётное множество рациональных, а не как счётный класс эквивалентности счётных последовательностей). Кстати (возможно вы знаете), есть элементарный способ построения действительных чисел прямо из целых, минуя рациональные — через классы эквивалентности функций Z -> Z (http://arxiv.org/abs/math/0301015).
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 10:20 am (UTC)

R from Z

(Link)
Какое именно утверждение Вы сочли "слишком категоричным"?

Как я уже сказал, дедекиндовы сечения "лучше" только тем, что сам "новый" объект проще характеризуется в терминах "старого". Но это примерно как -n, на что я уже указывал. Однако даже тут есть разница, потому что -n является "стандартной" формой записи отрицательного числа, и мы именно так его себе представляем в процессе "работы".

А вот множество всех рациональных r, не превосходящих данного x -- это вещь уже явно "искусственная", придуманная с целью "однозначности" и простоты задания. При этом всегда доставляет некоторый "дискомфорт" произвол в выборе "правого" и "левого", а также строгих или нестрогих неравенств.

По-моему, последовательности Коши точнее отражают сам реальный процесс возникновения одних и тех же действительных чисел как пределов разных последовательностей. (Скажем, типа того, как число e задаётся.) А Дедекинд, по сути дела, ввёл "каноническую форму", что тоже представляет ценность, но я бы это давал уже как "теорему" -- после построения соответствующего факторкольца и проверки всех свойств. То же самое со "стягивающимися отрезками" и прочим.

"Канонизация", кстати, далеко не всегда полезна: скажем, есть учебники, где за основу берутся десятичные дроби! Но это, мне кажется, "приключение себе на голову".

Что касается построения R через Z, то по крайней мере одна конструкция мне известна -- это т.н. "асимптотические конусы" Громова. Достоинство в том, что R сразу возникает в результате применения довольно общей конструкции. Недостаток в том, что используются ультрафильтры.

Идея там в том, что вводится последовательность метрик на Z. Расстояние между "соседями" полагается равным сначала 1, потом 1/2, потом 1/4 и так далее. Далее при помощи ультрафильтров задаётся некая "предельная" конструкция (в принципе, нетрудно догадаться, какая именно), и возникает метрическое пространство R.

Я пока не смотрел текст статьи по ссылке, но сейчас сравню, эта ли идея там рассматривается.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 11:26 am (UTC)

Re: R from Z

(Link)
В моём исходном сообщении есть только одно утверждение Дьедонне: о том, что построение действительных чисел не относится к анализу, оно вынесено в заголовок. Сам Дьедонне вводит действительные числа синтетически и, разумеется, не утруждает себя третьестепенными вопросами построения модели и доказательства непротиворечивости и категоричности.

По-моему, последовательности Коши точнее отражают сам реальный процесс возникновения одних и тех же действительных чисел как пределов разных последовательностей.
Как настоящий вавилонянин вы верите не только в то, что действительные числа „реальны“, но и что возникают они одним единственным вполне определённым способом. :-) Для меня, лучшим кажется дать несколько определений. Доказательство их эквивалентности — хорошее упражнение. Ещё один недостаток определения через последовательности Коши в том, что придётся определять фундаментальные последовательности отдельно для рациональных чисел, а потом ещё раз для метрических пространств (или играть в тёмные игры, когда определяется метрика на пространстве X со значениями в упорядоченном поле Y, а метрика на пополнении X определна со значениями в пополнении Y).

По поводу Лысенко-Мардука, а не совсем понял. Как выписывание или опускание чего либо в записи связано с онтологическим статусом опускаемого? Скажем, если я освоил сложение столбиком настолько, что не ставлю точку для обозначение переноса, значит ли это, что я перестал верить в существование переноса?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 12:03 pm (UTC)

путешествие в эмпиреи

(Link)
Признаться, я даже не обратил внимания на заголовок, то есть это прошло как бы "мимо" моего сознания. Я не знал, какой именно аспект для Вас здесь важен в первую очередь, а из "контекста" это не следовало.

Введение системы действительных чисел аксиоматически, без доказательства существования, я вообще-то считаю "безобразием". Единственность, кстати говоря, мне казалось, что обычно доказывают. Особенно если это можно сделать "категорно": такие вещи "абстракционисты" очень любят!

Я, конечно, верю в "реальность" real numbers, но представление о том, что они "на самом деле" суть классы эквивалентности последовательностей Коши, мне не свойственно. Это только наилучший с моей точки зрения методический способ их ввести, и не более того. Ведь сами по себе они суть "идея", то есть "материализовать" их в полной мере нельзя. Вопрос может ставиться только о наилучших средствах "доступа" к "идее".

Тот недостаток, о котором Вы говорите, имеет место, то есть какие-то одни и те же вещи приходится доказывать дважды, или же вводить "абстрактный аппарат". Я выход из положения вижу в том, чтобы повторно сформулировать свойства, но про доказательство сказать, что оно "аналогично". Идея-то там та же, а я делаю "упор" именно на "идеях"! :)

Пример с Лысенко касался "нелегального" использования каких-то "отрицаемых" понятий. Я его "проецировал" на "греков", которые в процессе работы над "доказательствами" то и дело уносятся сознанием в "несуществующие" для них "эмпиреи". Аналогия тут, на мой взгляд, практически полная. Пример с тем, как в обсуждаемой статье мелькнул "призрак" рациональных чисел на уровне "идейного содержания", меня всего лишь "навёл" на эту мысль. А само по себе это сравнение -- довольно старое.

Ваше замечание говорит о том, что для Вас нет разницы между использованием какой-то "идеи" (например, идеи переноса разрядов) и "отчётом" об этом (в виде "точечек"). Это само по себе довольно характерно: ведь "идеи" для Вас "нет", а потому всё как бы сводится к "отчётным" формам! :)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 9th, 2011 01:27 pm (UTC)

Re: путешествие в эмпиреи

(Link)
Введение системы действительных чисел аксиоматически, без доказательства существования, я вообще-то считаю "безобразием".
„Благообразным“ остаться всё-равно не удастся: какие-то основные вещи, вроде множеств, придётся вводить синтетически.

Я выход из положения вижу в том, чтобы повторно сформулировать свойства, но про доказательство сказать, что оно "аналогично".
Вот это-то и есть настоящее „безобразие“. :-) Если ситуация аналогична, но выразить эту аналогию не удаётся, то система изложения и обозначение явно неадекватна и её нужно исправлять. Мне кажется история математики ясно демонстрирует пользу точных и единообразных описаний.

Ваше замечание говорит о том, что для Вас нет разницы между использованием какой-то "идеи" (например, идеи переноса разрядов) и "отчётом" об этом (в виде "точечек").
Я ввобще-то имел в виду ровно обратное: даже если я перенос не обозначаю, с ним ничего не случается. Т.е. ответ на мой риторический вопрос: „значит ли это, что я перестал верить в существование переноса?“ —подразумевался отрицательным. Вашу аналогию я до сих пор не понимаю. Как „греки“ уносятся в эмпиреи?

По-моему наше предыдущее обсуждение показало, что это именно вавилоняне склонны к постройке потёмкинских деревень, и, приступая к доказательству от противного, произносят ритуальное заклинание-оберег: „вступая в богомерзкую теорию чуждую вечным эйдосам, клянусь, перед лицом моих коллег и анонимных референтов, думать, что эйдосы всё-же существуют, и пусть покарает меня Мардук и лишит счастья созерцать Истинный Натуральный Ряд, если я отступлю от своей клятвы.“
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:falcao
Date:October 9th, 2011 10:50 am (UTC)

мичуринские греки

(Link)
Посмотрел статью -- конструкция весьма симпатичная! Основная идея там сразу же сформулирована в начале, то есть всё сразу становится понятно.

Интересно то, что хотя прямого "отсыла" к рациональным числам там нет, но на "идейном" уровне автор этим всё равно "оперирует". Это само по себе интересно в свете нашей дискуссии о "греках" и "вавилонянах": я к тому, что Ваши "любимцы" всё равно никуда не деваются от "оперирования" в уме теми "сущностями", которые на словах считаются "несуществующими". Не помню, приводил ли я при Вас этот пример, но мне это напоминает сюжет из романа Дудинцева "Белые одежды" -- когда сладостный "Касиан Демианович" тайно пользовался результатами "вейсманистов-морганистов", демонстрируя потом свои "достижения" в области "мичуринской биологии"! :)

А статью эту, кстати, я потом "подкину" кому-нибудь из студентов! Для темы "курсовой" очень хорошо подходит.
(Reply) (Parent) (Thread)
(Deleted comment)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:August 21st, 2012 03:26 pm (UTC)
(Link)
Cartesian Differential Categories Revisited
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:sober_space
Date:August 21st, 2012 05:20 pm (UTC)
(Link)
Спасибо

Я сейчас пытаюсь думать о дифференциальном операторе как о чём-то вроде (гротендиковского) расслоения, только определённого не для категорий, а вообще для любых полугрупп с 0. Вроде бы все примеры укладываются. Пропадают конечно алгебраические свойства, но общий смысл удерживается.
(Reply) (Parent) (Thread)