?

Log in

No account? Create an account

Конечное подражает бесконечному: хранится ли в Вавилонской библиотеке её каталог? - The chronicler of 452 — LiveJournal

Jun. 21st, 2014

01:55 pm - Конечное подражает бесконечному: хранится ли в Вавилонской библиотеке её каталог?

Previous Entry Share Next Entry







Edward Nelson, Predicative Arithmetics

Comments:

From:ex_juan_gan
Date:June 21st, 2014 02:50 pm (UTC)
(Link)
Ультраинтуиционизм расширяет пределы? У Есенина-Вольпина это было 10^11.

Хотя в целом, конечно, грех спорить. Просто сложно эту математику впарить; я так и не въехал, что значит x ≤ f в этом тексте.

Вообще, речь о том, чтобы аксиому фундирования отменить? Тогда возникнут призрачные топологии, я бы предположил.

Edited at 2014-06-21 02:52 pm (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 21st, 2014 03:17 pm (UTC)
(Link)
Без аксиомы фундирования невозможна (трансфинитная) индукция в обычном смысле. Про нефундированные множества писал Peter Aczel. (Кстати, интересный результат: Рассмотрим power-set функтор P:SET->SET. Его инициальная алгебра это обычный универсум множеств. Его финальная ко-алгебра: универсум нефундированных множеств.)

Программа Нельсона кратко изложена в Hilbert's Mistake.

Edited at 2014-06-21 03:18 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 03:40 pm (UTC)
(Link)
А почему невозможна трансфинитная индукция? Ведь ординалы всё равно останутся ординалами, не меняя своих свойств, если мы решим помимо них рассматривать ещё какие-то "множества" с более сложным поведением (типа {{...}} с бесконечным вложением скобок).

Невозможной становится индукция по отношению принадлежности, но это как бы не страшно.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 04:42 pm (UTC)
(Link)
Во-первых, непонятно можно ли сохранить ординалы, потому что \epsilon фундировано на всех транзитивных множествах тогда и только тогда, когда выполняется аксиома фундирования. Т.е. явно построить начальный сегмент On, достаточный для обычной математики, конечно можно, но как построить ординалы „вообще“–сходу неясно. Во-вторых, как-раз epsilon-индукция и важна на практике, просто обычно всякое множество изоморфно ординалу, поэтому все сводится к индукции по ординалам. Впрочем, и epsilon-индукция тоже явно используется. Например, чтобы доказать, что всякое множество принадлежит какому-то уровню фон-Неймановой иерархии.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 05:18 pm (UTC)
(Link)
Пока что я не понял Вашей мысли. Что конкретно произойдёт с ординалами (в их стандартном определении), если не постулировать фундированность всех множеств?

Что касается множеств, принадлежащих иерархии, то доказываемые факты будут справедливы не для всех множеств, а только для фундированных. Содержание ведь от этого не меняется? Грубо говоря, все содержательные факты о карасях, установленные эмпирически, не должны измениться от того, что к классу рыб начнут относить слонов?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 06:32 pm (UTC)
(Link)
Допустим, ординал определяется как „наследствено транзитивное множество“. После этого доказывается, что на всяком таком множестве \in — фундировано. Это доказательство использует аксиому фундирования. Если ее нет, то \in не фундировано на так определённых ординалах. Если ординалы определяются по-другому, как классы эквивалентности или по фон Нейману, то без АФ теряется эквивалентность между „X ординал“ и „X наследственно транзитивное множество“. В любом случае, теорию нужно как-то модифицировать.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 06:41 pm (UTC)
(Link)
Я исхожу из такого определения: ординалом называется транзитивное множество, вполне упорядоченное отношением принадлежности. При этом вроде бы никаких трудностей не возникает.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 07:04 pm (UTC)
(Link)
Я никогда такого определения не видел, поэтому трудно сразу сказать будут ли „трудности“. Похожее, встречавшееся мне определение это „транзитивное множество линейно упорядоченное \in“. Ваше определение более обременительное. Оно исключает „протаскивание“ нефундированных нелегалов, но зато теперь придется доказывать, что всякие конструкции, вроде succ() или взятия супремума сохраняют „ординальность“, т.е. их результат вполне упорядочен. Во всех ли случаях это можно сделать без фундирования? Где можно посмотреть на изложение теории ординалов, базирующееся на вашем определении?
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 07:09 pm (UTC)
(Link)
Странно: мне казалось, это самое стандартное определение. Оно, например, есть в Мендельсоне. Там же есть вся соответствующая теория с проверками нужных свойств.

Кстати, мне вообще непонятно, из каких соображений могло быть дано какое-то другое определение. Ведь ординалы должны быть "эталонами" вполне упорядоченных множеств, согласно основному замыслу. Тогда и определять их надо в том же духе, как это делают с натуральными числами, если считать их множествами, а не чем-то ещё. И тогда достаточно "уловить" способ их задания (точнее, характеризации) при помощи подходящего "внешнего" признака.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 08:45 pm (UTC)
(Link)
Пришлось смотреть. :-) У Мендельсона ординал определяется как транзитивное множество *строго* вполне упорядоченное принадлежностью, (x \notin x) для всех элементов. Т.е. он тайком протаскивает личную аксиому фундирования и широко её использует. Общую форму индукции по принадлежности так не получить.

С точки зрения „соображений“ ординалы проще всего определить, как классы эквивалентных вполне упорядоченных множеств и дело с концом. Традиционная привязка их к \in это, мне кажется, просто историческое наследие того факта, что ординалы, со времен Кантора, излагаются как часть теории множеств и поэтому при формальном изложении ТМ, их приходится вводить через канонического представителя, т.е. „класс эквивалентных“ слишком велик.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 08:57 pm (UTC)
(Link)
Я не вижу здесь "протаскивания", о котором Вы говорите, потому что "канонические" ординалы обладают этим свойством сами по себе, по природе вещей. Тут просто нет альтернативы, потому что описывается конструкция, "существующая в природе".

То, что ординалы можно отождествить с классами упорядоченных множеств, это справедливо, но так же точно можно было бы поступить и с натуральными числами. Однако сама возможность построить натуральный ряд из множеств, выступающих в качестве "эталонов количества", ничем не плоха. Так же и с ординалами. А от появления нефундированных множеств опять-таки не поменяется "устройство" вполне упорядоченных.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 09:19 pm (UTC)
(Link)
Канонические построения плохи своей произвольность. Позвольте, вы же сами меня раньше в этом убеждали. :-) Например, выбор в качестве канонического отношения порядка отношения принадлежности — произволен и искусственен. На практике вполне упорядоченные множества редко упорядоченны принадлежностью, если только вы не занимаетесь теорией множеств.

„Протаскивание“ у Мендельсона самое наглое: и по-русски и по-английски и частично и вполне упорядоченные множества подразумевают рефлексивное отношение. Т.е. здесь явное желание сделать изложение как можно более коротким.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 22nd, 2014 09:42 pm (UTC)
(Link)
Недостатки тех или иных "канонических" конструкций мне понятны, но это как бы совсем отдельная тема. К неё относится, например, разговор о том, уместно ли функцию (как "действие") отождествлять с её графиком. Или упорядоченную пару в "понятном" смысле с её формальным определением по Куратовскому или Винеру.

То, что я говорил по ссылке, относится к предпочтительным с моей точки зрения способам построения системы действительных чисел. Никаких обощений я при этом не делал.

Вообще, вопрос о том, правильно ли отождествлять, скажем, натуральные числа с множествами определённого рода вполне уместен. Но сама конструкция однозначно заслуживает внимания. Даже если стоять на той точке зрения, что числа суть особого рода объекты (да хоть функторы :)), а никак не множества, то это не отменяет возможности рассмотрения теоретико-множественной модели. То же относится к ординалам.

По поводу "протаскивания" я совершенно не согласен. Что касается упорядоченных множеств, то обычно во вводном курсе математики даётся определение как нестрогого частичного порядка, так и строгого. И доказывается связь между одним и другим понятием. Поскольку они "взаимозаменяемые", то за основу берут то, что удобнее в данном конкретном контексте. Ясно, что строгий порядок при рассмотрении ординалов удобнее, и для них отношение принадлежности обладает именно этими, а не другими свойствами. Это никак не зависит от рассмотрения или нерассмотрения фундированных множеств.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 23rd, 2014 08:06 am (UTC)
(Link)
Т.е. вы считаете, что представление well-ordered relation отношением принадлежности „естественно“? По мне так это абсолютно искусственная, притянутая за уши конструкция. В подавляющем большинстве случаев, встречающиеся на практике множества „плоские“. Транзитивные множества это патология, используемая *только* внутри теории множеств (и только для построения ординалов, если ограничится стандартным курсом). Кроме того, в рамках NGB, используемой Мендельсоном, можно напрямую определить ординал, как класс всех эквивалентых вполне упорядоченных множеств и отделить построение ординалов от смутных конструкций ТМ.

„Протаскивание“ заключается в том, что используется строгий порядок, но называется просто порядком. Т.е. устоявшаяся терминология нарушается. Зачем? Чтобы протащить дополнительное условие в определение и сделать его независимым от аксиомы фундирования.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 22nd, 2014 06:38 pm (UTC)
(Link)
В качестве примера, X = {X}, наследственно транзитивно, т.е. по „стандартному определению“ (в моем сегодняшнем наборе стандартов), будет ординалом. Очевидно, не вполне упорядоченным.
(Reply) (Parent) (Thread)