?

Log in

No account? Create an account

Drittes Reich strikes back. История Ар. - The chronicler of 452 — LiveJournal

Jun. 19th, 2015

03:36 pm - Drittes Reich strikes back. История Ар.

Previous Entry Share Next Entry

Представим жителя параллельной вселенной (в 18-м веке сказали бы „турка“, в 19-м — „китайца“, в 20-м — „марсианина“), назовём его Ар, для которого множество единиц времени (например, секунд или планковских единиц времени) образует ординал, больший ω. Иными словами, Ар уже прожил больше нашей вечности.

Как это можно установить? Например, астрономические данные параллельной вселенной показывают, что наблюдаемоё в ней распредление материи не могло установиться за конечное время. Или уравнения движения его мира требуют неархимедового анализа.

Допустим, Ар получил по библиотечному обмену книжки земного курса математической логики.

Вот он читает аксиомы Пеано и мысленно конструирует их модель, основываясь на своей интуиции счёта, основанной, в свою очередь на течении времени в его вселенной (привет Брауэру). Для нас — это какая-то нестандартная модель PA весьма специального вида: кроме обычной схемы аксиомы индукции в ней выполняется индукция по формулам бесконечной длины. Конечно, Ар усматривает в натуральных числах гораздо больше истин, так как ему естественны доказательства бесконечной с нашей точки зрения длины.

Вот он читает определение машины Тьюринга: „... неограниченно продолжающаяся в обе стороны счётно-бесконечная лента ...“ — и представляет ленту индексированную элементами своего натурального ряда. Похожим образом он интерпретирует число состояний машины и отмечает выполнение тезиса Тьюринга: класс функций, вычислимых его машинами Тьюринга, совпадает с классом рекурсивных функций на его натуральном ряде.

Вот он читает формулировку и доказательство первой теоремы Гёделя о неполноте и убеждается в её справедливости.

После этого, он подходит к телефону, звонит *вам* и говорит: „За всю мою жизнь, (продолжающуюся, кстати, уже бесконечное количество ваших вечностей) я никогда не встречал существ столь проницательных. Будучи крайне ограниченны и по времени жизни своей расы (его не хватит даже на просмотр музея подарков на мои дни рождения) и по возможностям своего разума (вы и в принципе не сможете запомнить каталог этого музея), вы создали математику моего мира!“ Станете ли вы переубеждать вашего собеседника? Как?

Как доказать Ар, что его натуральный ряд „нестандартен“, некоторые из его чисел, „на самом деле“ бесконечны, и что он содержит в качестве префикса „настоящий“ натуральный ряд?

Понятно, что аргументы о построении инициальной модели „итерацией“ или апелляцией к аксиоме бесконечности неубедительны, потому что Ар применял точно такие же соображения при построении своего натурального ряда. С его точки зрения ваша позиция выглядит как радикальный ультра-финитаризм, произвольно обрывающий итерацию в некоторой конечной точке.

Вы можете попросить Ар привести пример числа большего всех наших натуральных чисел, но лучше этого не делать, потому что конца последовательности десятичных цифр, которую он начнёт зачитывать, вы никогда не дождётесь.

Вы можете попробовать обратиться к ординалам, и убедить Ар, что ω это первый предельный ординал и модель PA.

Однако линейно упорядоченное множество вполне упорядочено точно тогда, когда всякая строго убывающая цепь имеет конечную длину. Но у Ар больше конечных чисел, следовательно, больше ординалов, а, значит, предельные ординалы „реже“. Ясно, что с точки зрения любой модели PA, эта самая модель и есть первый предельный ординал. Т.е. множества ординалов в наших вселенных тоже разные.

К этому моменту должно быть ясно, что таким же образом не сработает апелляция к определению бесконечности по Дедекинду. То, что отображение λ.x:N.(x + 1) отображает N в N обеспечивается только аксиомами Пеано.

Более тонкий подход основан на теореме о полноте (или компактности). Построим явно „гёделево высказывание“ G, независимое от аксиом PA. По теореме о полноте, такое G обязательно ложно в некоторых моделях. Всегда можно найти подходящее G ложное в арифметике Ар. Теперь мы можем сказать Ар: „В моем мире G истинно, а в твоём ложно, значит наши арифметики различны, и твоя неправильная, т.к. к ней ложно утверждение, утверждающее собственную недоказуемость“. На что Ар, после некоторого размышления ответит: „О нет, все ваши проблемы от того, что вы произвольно ограничили глубину формул неким фиксированным числом. ~G вполне доказуемо, вот его доказательство ...“. К сожалению, когда он закончит зачитывать доказательство, некому будет его осмыслить, а телефонный счёт сам будет нестандартным числом, т.к. в этом доказательстве не менее ω шагов.

Но может быть мы зря ограничиваемся теориями первого порядка? В конце концов, все модели арифметики второго порядка изоморфны. Однако, если Ар попытается воспроизвести стандартное доказательство этого факта, он убедится, что наши натуральные числа, которые для него выглядят как множество чисел меньших некоторого числа ω (конечного для него), не образуют модели арифметики второго порядка. С его точки зрения, наша математика подходит для его мира, но не для нашего!

Если мы приходим к выводу, что нет возможности убедить Ар в нестандартности его натурального ряда, давайте сами позвоним жителю другой параллельной вселенной по имени Адмирал Есвольп-3, который парадоксальным образом утверждает, что *наш* натуральный ряд нестандартен, и переубедим его.

Очевидно, это не удастся по тем же причинам. (Действительно, наш собеседник и в этом случае живёт в несколько другом времени.)

Что же нам остаётся? Либо признать, что выбор натурального ряда связан с физическими свойствами наблюдаемого мира, и в разных частях мира натуральные ряды разные. Либо признать, что гипотеза о существовании Ар вносит противоречие, что математические понятия не априорны, а подразумевают определённые свойства внешнего мира, в частности базовая интуиция числа и счёта связана со свойствами времени. Что, в принципе, не отличается от первого варианта.

Другими словами, арифметика находится в таком же положении, как и геометрия: выбор „канонического натурального ряда“ столь же мало осмысленнен, как и выбор „правильной“ формы постулата о параллельных.

Впрочем, и звонить никуда не надо. Нет никакого способа убедиться, что натуральный ряд вашего соавтора или рецензента такой же как ваш. Можно возразить, что тождество интуитивных представлений установимо по одинаковым ответам на „вопросы высших порядков“ (все свойства первого порядка, очевидно, одинаковы), но тут к вам подойдёт поздний Витгенштейн и расскажет совсем другую историю.

Comments:

[User Picture]
From:moonwalker72
Date:June 19th, 2015 09:28 pm (UTC)
(Link)
Для меня экстремальным и непонятным является само существование понятия о бесконечном - одного из идеалов, которому ничто в физическом мире не соответствует. Пенроуз измыслил для этого квантовую метрику с замкнутым временем, в котором число событий конечно, но число повторений каждого события - бесконечно, и такая метрика дает "вклад" в виде квантово-гравитационной суперпозиции и на выходе получается какая-то микромасштабная "загогулина", которая определенным образом влияет на редукцию уже физических квантовых состояний к классическим, причем без наличия оной "загогулины" понятие о бесконечном в сознании "не может возникнуть" - пока это чистая фантазия. А очень жаль. Бесконечное - это высокая и совершенно неочевидная абстракция.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 20th, 2015 12:06 am (UTC)

физикализм?

(Link)
А почему Вы именно "физический мир" берёте в качестве "мерила"? С таким же успехом можно было бы взять в качестве "эталона" то, что находится в моей комнате.

Если так оказывается, что кто-то считает физику ценной и важной, а для построения физических моделей (заведомо не тождественных реальности) используется математический аппарат с привлечением чего-то "идеального", то почему бы не принять это всё в качестве должного?
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 27th, 2015 02:04 pm (UTC)
(Link)
Коротко говоря, бесконечность вводится для упрощения.

Рассмотрим, например, геометрию Евклида. Ее аксиомы, „на самом деле“ не выполняются в „реальном мире“. Если взять две пересекающихся „реальных“ прямых (например, тени от тонких проводов на листе бумаги) и посмотреть на их пересечение, то при достаточном увеличении ясно, что оно состоит более, чем из одной точки; через две достаточно близких точки можно провести больше одной прямой и т.д. Аксиомы Евлида выполняются только для идеальных объектов, которым, говоря вашими словами „ничто в физическом мире не соответствует“. Почему так? Да просто потому, что аксиоматика, описывающая поведение реальных точек и прямых будет безумно сложна.

Заметьте, что ваш аргумент „это чистая фантазия“ применялся в разное время к нулю, отрицательным числам, иррациональным числам, неевклидовой геометрии, пространствам с размерностью более 3 и т.п. Все эти и другие абстракции появились в математике, потому что математики любят простые, симметричные и элегантные дедуктивные системы
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:June 28th, 2015 12:59 am (UTC)

моя маленькая бюхнериана

(Link)
Ответ на коммент отсюда:

http://furia-krucha.livejournal.com/48684.html?thread=493356#t493356

> Мне просто кажется сама идея такого рода аргументации кажется спорной.

Всё зависит от ситуации. Представим себе, что я говорю со своим политическим единомышленником. Тогда я вполне могу себе позволить термин "катастройка" -- с идеей, что человек относится так же. А если для кого-то это "свет в окошке" (я встречал и таких), то можно подобрать другие выражения.

Здесь я рассчитывал на то, что Вы согласны со мной по поводу, скажем так, "примитивности" этого мировоззрения.

> с точки зрения современной прогрессивной общественности идея эйдосов это жуткое мракобесие и анахронизм провинциальных самоучек. :-) Общественность она такая.

Да, так и есть. Я однажды даже несколько попал "впросак", высказавшись пренебрежительно по поводу т.н. "научного реализма". Это тоже одно из направлений, которые Вы упомянули. Мне казалось, что мой собеседник не может принимать такое "убожество мысли", но я тогда ошибся.

Так или иначе, я не на "мейнстрим" здесь ориентировался, а на предполагаемое согласие. А так -- это всё "Бюхнер 2.0", конечно.

> Ар ... по отношению к нам трансцендентен и тут нет никакой „редукции“: он > уже находится на уровне наших эйдосов.

Довод принимается.

> минимальная модель это N + Z*Z, или N + Z*Q

Да, я помню, что пример N+Z, а тем более N+(-N) сознательно выбирался для упрощения. Хорошо, давайте возьмём более подходящую модель. Вопрос остаётся прежним: что там будет соответствовать x/2?

Да, и ещё неплохо было бы напомнить, что означает * между Z и Z, то есть какое это упорядоченное множество? Если Z, взятое Z раз, то пояснения не требуются.
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:June 28th, 2015 12:29 pm (UTC)

Эрсте колонне марширен

(Link)
> Здесь я рассчитывал на то, что Вы согласны со мной по поводу, скажем так, "примитивности" этого мировоззрения.
Я не то чтобы не согласен, просто мне кажется, что обсуждать это все равно, что спорить Спартак лучше или Динамо.

> что означает * между Z и Z
Умножение порядковых типов. Порядковый тип минимального нестандартного натурального ряда выглядит для нас как N+Z*Q. Кстати, возможно имеет смысл использовать именно N+Z*Q, а не N+Z*Z, потому что N+Z*Z это не модель даже для арифметики Пресбургера.

> Вопрос остаётся прежним: что там будет соответствовать x/2?
Строго говоря, мы не знаем. Сложение и умножение в нестандартных моделях не вычислимы на наших машинах Тьюринга (https://en.wikipedia.org/wiki/Tennenbaum's_theorem) если хотя бы один аргумент нестандартен. Однако, понятно, что x/2 будет между 0 и x, в смысле упорядоченности, что позволяет нам поместить его где-то на N+Z*Q.

Edited at 2015-06-28 12:33 pm (UTC)
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
From:ex_juan_gan
Date:July 2nd, 2015 06:52 pm (UTC)
(Link)
Определение конечного как неизоморфного собственному подобъекту пришельца не устроит?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:July 2nd, 2015 08:34 pm (UTC)
(Link)
Конечно устроит, но для него все его числа (включая нестандартные для нас) конечны по Дедекинду. Доказывается по индукции.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
From:zeit_raffer
Date:July 3rd, 2015 11:59 am (UTC)
(Link)
Прекрасное обсуждение, спасибо за удовольствие.
Если можно пару вопросов.

1. При чем здесь третий рейх? Постмодернистские аллюзии бывают непрозрачны, а читатели - не слишком искушены.

2. Есть ли способы описать универсум, в котором живет Есвольп, классическими средствами? С Ар все понятно - элегантный (но, возможно, слишком мощный) подход с ультрастепенью; или минимальная модель с присоединенным нестандартным числом, которую вы с собеседником строите в комментариях. Понятно, что эти шаги "вперед" можно делать в разных направлениях и повторять, так что мы получим достатояный запас нестандартных моделей. Но как сделать шаг назад?
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:July 3rd, 2015 12:37 pm (UTC)
(Link)
Drittes Reich это термин Фреге, обозначение области математических объектов, отличной от области ментальных состояний (второй рейх) и физического мира (первый рейх).

По поводу второго вопроса можно предложить несколько вариантов.

Можно формализовать теорию множеств Вопенки и построить её модель в ZFC. А можно просто рассмотреть счётную модель ZFC, в ней есть свой континуум, но он с нашей точки зрения счётен, т.е. обитатели этой модели с нашей точки зрения ограничены.

Более интересный подход, это рассмотреть такое число N, что [0, N) это модель PA при условии, что все мета-математические рассуждения ограничены N, т.е. рассматриваются только формулы и доказательства длины меньшей N. Понятно, что таким образом на N накладываются некоторые условия, определяющие ряд „субстандартных“ моделей.
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:nikital2014
Date:October 23rd, 2017 08:49 pm (UTC)
(Link)
Спасибо, люблю тексты, взрывающие шаблоны. Вертятся на языке некоторые вопросы, и первый таков: Вы терпимо относитесь к гуманитариям? :) Если нет, то дальше можете не отвечать.

Мне не особо понятно, можно ли исходя из этого мысленного опыта принять, что бесконечности не существует? Ведь если Ар может досчитать до нашей, то какой-нибудь Ар-Ар может проделать ту же фишку с его натуральным рядом. А Ар-Ар-Ар с его. И так до бесконе.. упс, до неё же уже досчитали :) То есть какой-то Ар-Ар....будет последним? Но ведь тогда его натуральный ряд будет бесконечен...
Итак, какая-то метабесконечность все же присутствует? А если нет, то чем это принципиально отличается от финитизма?

Edited at 2017-10-23 08:55 pm (UTC)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:October 27th, 2017 12:22 pm (UTC)
(Link)
Гуманитарии полезны.

Мне кажется ваша "лестница Иакова", где Ар-ы пересчитываются числами, создаваемыми в процессе пересчета, демонстрирует что бесконечность не одна, а их много и они образуют иерархию. Это установил еще Кантор, его механизм генерирования т.н. "ординальных чисел" похож на описанный вами.

Ну или вот еще: сноска в знаменитой статье Геделя:

48a The true source of the incompleteness attaching to all formal systems of mathematics, is to be
found—as will be shown in Part II of this essay—in the fact that the formation of ever higher types can be
continued into the transfinite (cf. D. Hilbert, ‘Über das Unendliche’ Math. Ann. 95, p. 184), whereas in every
formal system at most denumerably many types occur. It can be shown, that is, that the undecidable
propositions here presented always become decidable by the adjunction of suitable higher types (e.g. of type w
for the system P). A similar result also holds for the axiom system of set theory.

Обещанная Part II конечно никогда не появилась.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:nikital2014
Date:October 27th, 2017 06:07 pm (UTC)
(Link)
Спасибо. Хотя конечно мне сложно представить иерархию бесконечностей без смешивания их в одну.
(Reply) (Parent) (Thread)
[User Picture]
From:falcao
Date:January 18th, 2018 09:08 pm (UTC)

страсти по гиперъединице

(Link)
Я тут за последнее время не раз вспоминал про эту давнюю дискуссию в связи с небезызвестным "пифагоровским лауреатом" :)
(Reply) (Thread)
[User Picture]
From:furia_krucha
Date:January 18th, 2018 10:40 pm (UTC)

Re: страсти по гиперъединице

(Link)
Кто это?
(Reply) (Parent) (Thread) (Expand)
[User Picture]
From:nikital2014
Date:September 27th, 2019 11:34 pm (UTC)
(Link)
Недавно вышел фильм "Семь социопатов". Он состоит из нескольких довольно абсурдных новелл, в одной из которых герои внезапно осознали, что не могут досчитать до семи. Сожители Ра найдены :)
(Reply) (Thread)